Theorem iseqfveq 9450

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqfveq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
iseqfveq.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqfveq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqfveq	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem iseqfveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 8624	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 8633	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		iseqfveq.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7		iseqfveq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
8		iseqfveq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
9	3, 6, 7, 8	iseq1 9442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
10		eluzfz1 9050	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
11	1, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
12		iseqfveq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13	12	ralrimiva 2434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
14		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
15		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑀))
16	14, 15	eqeq12d 2095	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀)))
17	16	rspcv 2697	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀)))
18	11, 13, 17	sylc 61	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
19	9, 18	eqtrd 2113	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
20		iseqfveq.g	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
21		fzp1ss 9090	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
22	3, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
23	22	sselda 2999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
24	23, 12	syldan 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
25	5, 19, 6, 7, 20, 8, 1, 24	iseqfveq2 9448	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   ⊆ wss 2973  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  1c1 6982   + caddc 6984  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ...cfz 9029  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqfeq  9451