Theorem isermono 9457

Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isermono.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
isermono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
isermono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
isermono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isermono	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem isermono

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isermono.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		elfzuz 9041	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		isermono.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uztrn 8635	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	2, 3, 4	syl2anr 284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		reex 7107	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → ℝ ∈ V)
8		isermono.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	adantlr 460	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10		readdcl 7099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
11	10	adantl 271	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
12	5, 7, 9, 11	iseqcl 9443	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
14	3	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		eluzelz 8628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
17	1	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
18		eluzelz 8628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		peano2zm 8389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22		elfzelz 9045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
23	22	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
24		1zzd 8378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
25		fzaddel 9077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
26	16, 21, 23, 24, 25	syl22anc 1170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
27	13, 26	mpbid 145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
28		zcn 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		ax-1cn 7069	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		npcan 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
31	28, 29, 30	sylancl 404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
32	19, 31	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
33	32	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
34	27, 33	eleqtrd 2157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
35		isermono.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
36	35	ralrimiva 2434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
37	36	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		fveq2 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
39	38	breq2d 3797	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
40	39	rspcv 2697	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → (∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
41	34, 37, 40	sylc 61	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42		fzelp1 9091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
43	42	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
44	32	oveq2d 5548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
45	43, 44	eleqtrd 2157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
46	45, 12	syldan 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
47		fzss1 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
48	14, 47	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
49		fzp1elp1 9092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
50	49	adantl 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
51	50, 44	eleqtrd 2157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
52	48, 51	sseldd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
53		elfzuz 9041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
55	8	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
56	55	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57	38	eleq1d 2147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
58	57	rspcv 2697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
59	54, 56, 58	sylc 61	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	46, 59	addge01d 7633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
61	41, 60	mpbid 145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
62	45, 5	syldan 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ℝ ∈ V)
64	8	adantlr 460	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
65	10	adantl 271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66	62, 63, 64, 65	iseqp1 9445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
67	61, 66	breqtrrd 3811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)))
68	1, 12, 67	monoord 9455	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   ≤ cle 7154   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ...cfz 9029  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-iseq 9432

This theorem is referenced by: (None)