Theorem eluzelz 8628

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8625	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp2bi 954	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  eluzelre  8629  uztrn  8635  uzneg  8637  uzssz  8638  uzss  8639  eluzp1l  8643  eluzaddi  8645  eluzsubi  8646  eluzadd  8647  eluzsub  8648  uzm1  8649  uzin  8651  uzind4  8676  uz2mulcl  8695  elfz5  9037  elfzel2  9043  elfzelz  9045  eluzfz2  9051  peano2fzr  9056  fzsplit2  9069  fzopth  9079  fzsuc  9086  elfzp1  9089  fzdifsuc  9098  uzsplit  9109  uzdisj  9110  fzm1  9117  fzneuz  9118  uznfz  9120  nn0disj  9148  elfzo3  9172  fzoss2  9181  fzouzsplit  9188  eluzgtdifelfzo  9206  fzosplitsnm1  9218  fzofzp1b  9237  elfzonelfzo  9239  fzosplitsn  9242  fzisfzounsn  9245  mulp1mod1  9367  m1modge3gt1  9373  frec2uzltd  9405  frecfzen2  9420  uzsinds  9428  iseqfveq2  9448  iseqfeq2  9449  iseqshft2  9452  monoord  9455  monoord2  9456  isermono  9457  iseqsplit  9458  iseqid  9467  iseqz  9469  leexp2a  9529  expnlbnd2  9598  rexuz3  9876  r19.2uz  9879  cau4  10002  caubnd2  10003  clim  10120  climshft2  10145  climaddc1  10167  climmulc2  10169  climsubc1  10170  climsubc2  10171  clim2iser  10175  clim2iser2  10176  iiserex  10177  climlec2  10179  climub  10182  climcau  10184  climcaucn  10188  serif0  10189  zsupcllemstep  10341  infssuzex  10345  dvdsbnd  10348  ncoprmgcdne1b  10471  isprm3  10500  prmind2  10502  nprm  10505  dvdsprm  10518  exprmfct  10519