Theorem measvuni 30277

Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of S. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measvuni	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = Σ* x e. A ( M ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, S

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem measvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> M e. (measures ` S ) )
2		rabid 3116	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } <-> ( x e. A /\ B e. { (/) } ) )
3	2	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } -> B e. { (/) } )
4	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. { (/) } )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( M e. (measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } )
6	5	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } )
7		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. A | B e. { (/) } } C_ A
8		ssct 8041	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | B e. { (/) } } C_ A /\ A ~<_ om ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om )
9	7, 8	mpan 706	. . . . . 6 |- ( A ~<_ om -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om )
11	10	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om )
12		simp3r 1090	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Disj x e. A B )
13		nfrab1 3122	. . . . . 6 |- F/_ x { x e. A | B e. { (/) } }
14		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x A
15	13, 14	disjss1f 29386	. . . . 5 |- ( { x e. A | B e. { (/) } } C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) )
16	7, 12, 15	mpsyl 68	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Disj x e. { x e. A | B e. { (/) } } B )
17	13	measvunilem0 30276	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. { (/) } /\ ( { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om /\ Disj x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) = Σ* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) )
18	1, 6, 11, 16, 17	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) = Σ* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) )
19		rabid 3116	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } <-> ( x e. A /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) )
20	19	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } -> B e. ( S \ { (/) } ) )
21	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. ( S \ { (/) } ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( M e. (measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) )
24		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A
25		ssct 8041	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A /\ A ~<_ om ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om )
26	24, 25	mpan 706	. . . . . 6 |- ( A ~<_ om -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om )
28	27	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om )
29		nfrab1 3122	. . . . . 6 |- F/_ x { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) }
30	29, 14	disjss1f 29386	. . . . 5 |- ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) )
31	24, 12, 30	mpsyl 68	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Disj x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B )
32	29	measvunilem 30275	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om /\ Disj x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = Σ* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) )
33	1, 23, 28, 31, 32	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = Σ* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) )
34	18, 33	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = (Σ* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +eΣ* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) )
35		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x M e. (measures ` S )
36		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A B e. S
37		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x A ~<_ om
38		nfdisj1 4633	. . . . . . . 8 |- F/ xDisj x e. A B
39	37, 38	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B )
40	35, 36, 39	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ x ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) )
41	13, 29	nfun 3769	. . . . . 6 |- F/_ x ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } )
42		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. A B e. S )
43		rabid2 3118	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | B e. S } <-> A. x e. A B e. S )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A = { x e. A | B e. S } )
45		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) <-> ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) )
46		measbase 30260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. (measures ` S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
47		0elsiga 30177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )
48		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. S -> { (/) } C_ S )
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. (measures ` S ) -> { (/) } C_ S )
50		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { (/) } C_ S <-> ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) = S )
51	49, 50	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. (measures ` S ) -> ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) = S )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. (measures ` S ) -> ( B e. ( { (/) } u. ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. S ) )
53	45, 52	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. (measures ` S ) -> ( ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. S ) )
54	53	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( M e. (measures ` S ) -> { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = { x e. A | B e. S } )
55	54	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = { x e. A | B e. S } )
56	44, 55	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A = { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) } )
57		unrab 3898	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = { x e. A | ( B e. { (/) } \/ B e. ( S \ { (/) } ) ) }
58	56, 57	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A = ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) )
59		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> B = B )
60	40, 14, 41, 58, 59	iuneq12df 4544	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> U_ x e. A B = U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B )
61	60	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B ) )
62		iunxun 4605	. . . . 5 |- U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B = ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B )
63	62	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( M ` U_ x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) B ) = ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) )
64	61, 63	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) )
65	46	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
66	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> (/) e. S )
67		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. { (/) } -> B = (/) )
68	67	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. { (/) } -> ( B e. S <-> (/) e. S ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> ( B e. S <-> (/) e. S ) )
70	66, 69	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ B e. { (/) } ) -> B e. S )
71	46, 3, 70	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. S )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( M e. (measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S )
73	72	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S )
74	13	sigaclcuni 30181	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S /\ { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om ) -> U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S )
75	65, 73, 11, 74	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S )
76	21	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. S )
77	76	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( M e. (measures ` S ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S )
78	77	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S )
79	29	sigaclcuni 30181	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S /\ { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om ) -> U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S )
80	65, 78, 28, 79	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S )
81	3, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. A | B e. { (/) } } -> B = (/) )
82	81	iuneq2i 4539	. . . . . 6 |- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } (/)
83		iun0 4576	. . . . . 6 |- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } (/) = (/)
84	82, 83	eqtri 2644	. . . . 5 |- U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/)
85		ineq1 3807	. . . . . 6 |- ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = ( (/) i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) )
86		0in 3969	. . . . . 6 |- ( (/) i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/)
87	85, 86	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B = (/) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) )
88	84, 87	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) )
89		measun 30274	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B e. S /\ U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B e. S ) /\ ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B i^i U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) = (/) ) -> ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) )
90	1, 75, 80, 88, 89	syl121anc 1331	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` ( U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B u. U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) )
91	64, 90	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. { (/) } } B ) +e ( M ` U_ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } B ) ) )
92	40, 58	esumeq1d 30097	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Σ* x e. A ( M ` B ) = Σ* x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) ( M ` B ) )
93		ctex 7970	. . . . 5 |- ( { x e. A | B e. { (/) } } ~<_ om -> { x e. A | B e. { (/) } } e. _V )
94	11, 93	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. { (/) } } e. _V )
95		ctex 7970	. . . . 5 |- ( { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ~<_ om -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } e. _V )
96	28, 95	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } e. _V )
97		inrab 3899	. . . . . 6 |- ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) }
98		noel 3919	. . . . . . . . . 10 |- -. B e. (/)
99		disjdif 4040	. . . . . . . . . . 11 |- ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) = (/)
100	99	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) <-> B e. (/) )
101	98, 100	mtbir 313	. . . . . . . . 9 |- -. B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) )
102		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( { (/) } i^i ( S \ { (/) } ) ) <-> ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) )
103	101, 102	mtbi 312	. . . . . . . 8 |- -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) )
104	103	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. x e. A -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) )
105		rabeq0 3957	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = (/) <-> A. x e. A -. ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) )
106	104, 105	mpbir 221	. . . . . 6 |- { x e. A | ( B e. { (/) } /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) } = (/)
107	97, 106	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = (/)
108	107	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( { x e. A | B e. { (/) } } i^i { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) = (/) )
109	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> M e. (measures ` S ) )
110	1, 71	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> B e. S )
111		measvxrge0 30268	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B e. S ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
112	109, 110, 111	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. { (/) } } ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
113	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> M e. (measures ` S ) )
114	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. ( S \ { (/) } ) )
115	114	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> B e. S )
116	113, 115, 111	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
117	40, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116	esumsplit 30115	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Σ* x e. ( { x e. A | B e. { (/) } } u. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ) ( M ` B ) = (Σ* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +eΣ* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) )
118	92, 117	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Σ* x e. A ( M ` B ) = (Σ* x e. { x e. A | B e. { (/) } } ( M ` B ) +eΣ* x e. { x e. A | B e. ( S \ { (/) } ) } ( M ` B ) ) )
119	34, 91, 118	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. S /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = Σ* x e. A ( M ` B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259

This theorem is referenced by:  measiuns  30280  measinblem  30283  sibfof  30402  dstrvprob  30533