Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem sigaclfu2 30184
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on ( 1..^ N ). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ N ) A e. S ) -> U_ k e. ( 1..^ N ) A e. S )
Distinct variable groups:   S, k   k, N
Allowed substitution hint:   A( k)
Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4605 . . . 4 |- U_ k e. ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = ( U_ k e. ( 1..^ N ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) u. U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) )
2 fzossnn 12516 . . . . . 6 |- ( 1..^ N ) C_ NN
3 undif 4049 . . . . . 6 |- ( ( 1..^ N ) C_ NN <-> ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) = NN )
42, 3mpbi 220 . . . . 5 |- ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) = NN
5 iuneq1 4534 . . . . 5 |- ( ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) = NN -> U_ k e. ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4 |- U_ k e. ( ( 1..^ N ) u. ( NN \ ( 1..^ N ) ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) )
7 iftrue 4092 . . . . . 6 |- ( k e. ( 1..^ N ) -> if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = A )
87iuneq2i 4539 . . . . 5 |- U_ k e. ( 1..^ N ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = U_ k e. ( 1..^ N ) A
9 eldifn 3733 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) -> -. k e. ( 1..^ N ) )
109iffalsed 4097 . . . . . . 7 |- ( k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) -> if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = (/) )
1110iuneq2i 4539 . . . . . 6 |- U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) (/)
12 iun0 4576 . . . . . 6 |- U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) (/) = (/)
1311, 12eqtri 2644 . . . . 5 |- U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = (/)
148, 13uneq12i 3765 . . . 4 |- ( U_ k e. ( 1..^ N ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) u. U_ k e. ( NN \ ( 1..^ N ) ) if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) ) = ( U_ k e. ( 1..^ N ) A u. (/) )
151, 6, 143eqtr3i 2652 . . 3 |- U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = ( U_ k e. ( 1..^ N ) A u. (/) )
16 un0 3967 . . 3 |- ( U_ k e. ( 1..^ N ) A u. (/) ) = U_ k e. ( 1..^ N ) A
1715, 16eqtri 2644 . 2 |- U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) = U_ k e. ( 1..^ N ) A
18 0elsiga 30177 . . . 4 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )
19 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) e. S /\ ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) ) /\ k e. NN ) /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> k e. ( 1..^ N ) )
20 simpllr 799 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) e. S /\ ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) ) /\ k e. NN ) /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) )
2119, 20mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( (/) e. S /\ ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) ) /\ k e. NN ) /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> A e. S )
22 simplll 798 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( (/) e. S /\ ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. ( 1..^ N ) ) -> (/) e. S )
2321, 22ifclda 4120 . . . . . . 7 |- ( ( ( (/) e. S /\ ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S )
2423exp31 630 . . . . . 6 |- ( (/) e. S -> ( ( k e. ( 1..^ N ) -> A e. S ) -> ( k e. NN -> if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S ) ) )
2524ralimdv2 2961 . . . . 5 |- ( (/) e. S -> ( A. k e. ( 1..^ N ) A e. S -> A. k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S ) )
2625imp 445 . . . 4 |- ( ( (/) e. S /\ A. k e. ( 1..^ N ) A e. S ) -> A. k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S )
2718, 26sylan 488 . . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ N ) A e. S ) -> A. k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S )
28 sigaclcu2 30183 . . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S ) -> U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S )
2927, 28syldan 487 . 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ N ) A e. S ) -> U_ k e. NN if ( k e. ( 1..^ N ) , A , (/) ) e. S )
3017, 29syl5eqelr 2706 1 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A. k e. ( 1..^ N ) A e. S ) -> U_ k e. ( 1..^ N ) A e. S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   U_ciun 4520   ran crn 5115  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020  ..^cfzo 12465  sigAlgebracsiga 30170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-siga 30171
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  30185  measiuns  30280  measiun  30281  meascnbl  30282
  Copyright terms: Public domain W3C validator