Theorem volmeas 30294

Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volmeas	|- vol e. (measures ` dom vol )

Proof of Theorem volmeas

Dummy variables f n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volf 23297	. 2 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
2		fvssunirn 6217	. . . . . 6 |- (sigAlgebra ` RR ) C_ U. ran sigAlgebra
3		dmvlsiga 30192	. . . . . 6 |- dom vol e. (sigAlgebra ` RR )
4	2, 3	sselii 3600	. . . . 5 |- dom vol e. U. ran sigAlgebra
5		0elsiga 30177	. . . . 5 |- ( dom vol e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. dom vol )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- (/) e. dom vol
7		mblvol 23298	. . . 4 |- ( (/) e. dom vol -> ( vol ` (/) ) = ( vol* ` (/) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( vol ` (/) ) = ( vol* ` (/) )
9		ovol0 23261	. . 3 |- ( vol* ` (/) ) = 0
10	8, 9	eqtri 2644	. 2 |- ( vol ` (/) ) = 0
11		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) -> x e. Fin )
12		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. ~P dom vol
13		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y x ~<_ om
14		nfdisj1 4633	. . . . . . . . . 10 |- F/ yDisj y e. x y
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y )
16	12, 15	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
17		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y x e. Fin
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin )
19		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P dom vol -> x C_ dom vol )
20	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) /\ y e. x ) -> x C_ dom vol )
21		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) /\ y e. x ) -> y e. x )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) /\ y e. x ) -> y e. dom vol )
23	22	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) -> ( y e. x -> y e. dom vol ) )
24	18, 23	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) -> A. y e. x y e. dom vol )
25		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) -> Disj y e. x y )
26		uniiun 4573	. . . . . . . 8 |- U. x = U_ y e. x y
27	26	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( vol ` U. x ) = ( vol ` U_ y e. x y )
28		volfiniune 30293	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ A. y e. x y e. dom vol /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U_ y e. x y ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
29	27, 28	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ A. y e. x y e. dom vol /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
30	11, 24, 25, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x e. Fin ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
31		bren 7964	. . . . . 6 |- ( NN ~~ x <-> E. f f : NN -1-1-onto-> x )
32		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( vol ` y )
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( vol ` ( f ` n ) )
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n x
36		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n NN
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n f
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( f ` n ) -> ( vol ` y ) = ( vol ` ( f ` n ) ) )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> x e. ~P dom vol )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> f : NN -1-1-onto-> x )
41		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
42	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ y e. x ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
43	39, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> x C_ dom vol )
44	43	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ y e. x ) -> y e. dom vol )
45	42, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ y e. x ) -> ( vol ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45	esumf1o 30112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> Σ* y e. x ( vol ` y ) = Σ* n e. NN ( vol ` ( f ` n ) ) )
47	46	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> Σ* y e. x ( vol ` y ) = Σ* n e. NN ( vol ` ( f ` n ) ) )
48	19	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ n e. NN ) -> x C_ dom vol )
49		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> f : NN --> x )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> f : NN --> x )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. x )
52	48, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. dom vol )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> A. n e. NN ( f ` n ) e. dom vol )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> f : NN -1-1-onto-> x )
55		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> Disj y e. x y )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> f : NN -1-1-onto-> x )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : NN -1-1-onto-> x /\ y = ( f ` n ) ) -> y = ( f ` n ) )
58	56, 57	disjrdx 29404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> (Disj n e. NN ( f ` n ) <-> Disj y e. x y ) )
59	58	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : NN -1-1-onto-> x /\ Disj y e. x y ) -> Disj n e. NN ( f ` n ) )
60	54, 55, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> Disj n e. NN ( f ` n ) )
61		voliune 30292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( f ` n ) e. dom vol /\ Disj n e. NN ( f ` n ) ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( f ` n ) ) = Σ* n e. NN ( vol ` ( f ` n ) ) )
62	53, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( f ` n ) ) = Σ* n e. NN ( vol ` ( f ` n ) ) )
63		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> f : NN -onto-> x )
64	63, 57	iunrdx 29382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U_ y e. x y )
65	64, 26	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. x )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -1-1-onto-> x -> ( vol ` U_ n e. NN ( f ` n ) ) = ( vol ` U. x ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( f ` n ) ) = ( vol ` U. x ) )
68	47, 62, 67	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> x ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
69	68	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( f : NN -1-1-onto-> x -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) ) )
70	69	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> x -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) ) )
71	70	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ E. f f : NN -1-1-onto-> x ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
72	31, 71	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ NN ~~ x ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
73		brdom2 7985	. . . . . . . 8 |- ( x ~<_ om <-> ( x ~< om \/ x ~~ om ) )
74	73	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( x ~<_ om -> ( x ~< om \/ x ~~ om ) )
75		isfinite2 8218	. . . . . . . 8 |- ( x ~< om -> x e. Fin )
76		ensymb 8004	. . . . . . . . 9 |- ( x ~~ om <-> om ~~ x )
77		nnenom 12779	. . . . . . . . . 10 |- NN ~~ om
78		entr 8008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( NN ~~ om /\ om ~~ x ) -> NN ~~ x )
79	77, 78	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( om ~~ x -> NN ~~ x )
80	76, 79	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ om -> NN ~~ x )
81	75, 80	orim12i 538	. . . . . . 7 |- ( ( x ~< om \/ x ~~ om ) -> ( x e. Fin \/ NN ~~ x ) )
82	74, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( x ~<_ om -> ( x e. Fin \/ NN ~~ x ) )
83	82	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( x e. Fin \/ NN ~~ x ) )
84	30, 72, 83	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
85	84	ex 450	. . 3 |- ( x e. ~P dom vol -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) ) )
86	85	rgen 2922	. 2 |- A. x e. ~P dom vol ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) )
87		ismeas 30262	. . 3 |- ( dom vol e. U. ran sigAlgebra -> ( vol e. (measures ` dom vol ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( vol ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom vol ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) ) ) ) )
88	4, 87	ax-mp 5	. 2 |- ( vol e. (measures ` dom vol ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( vol ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom vol ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( vol ` U. x ) = Σ* y e. x ( vol ` y ) ) ) )
89	1, 10, 86, 88	mpbir3an 1244	1 |- vol e. (measures ` dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   NNcn 11020   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259

This theorem is referenced by: (None)