Theorem ac5num 8859

Description: A version of ac5b 9300 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ac5num	|- ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) -> E. f ( f : A --> U. A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )

Distinct variable group:   x, f, A

Proof of Theorem ac5num

Dummy variables g r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexr 6972	. . . 4 |- ( U. A e. dom card -> A e. _V )
2		dfac8b 8854	. . . 4 |- ( U. A e. dom card -> E. r r We U. A )
3		dfac8c 8856	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. r r We U. A -> E. g A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
4	1, 2, 3	sylc 65	. . 3 |- ( U. A e. dom card -> E. g A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) -> E. g A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) )
6		nelne2 2891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ -. (/) e. A ) -> x =/= (/) )
7	6	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. (/) e. A /\ x e. A ) -> x =/= (/) )
8	7	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ x e. A ) -> x =/= (/) )
9		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= (/) -> ( ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) -> ( g ` x ) e. x ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) -> ( g ` x ) e. x ) )
11	10	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) -> ( A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. x ) )
12	11	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. x )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
14		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) e. x <-> ( g ` y ) e. y ) )
16	15	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( g ` x ) e. x /\ y e. A ) -> ( g ` y ) e. y )
17	12, 16	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) /\ y e. A ) -> ( g ` y ) e. y )
18		elunii 4441	. . . . . 6 |- ( ( ( g ` y ) e. y /\ y e. A ) -> ( g ` y ) e. U. A )
19	17, 18	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) /\ y e. A ) -> ( g ` y ) e. U. A )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. A |-> ( g ` y ) ) = ( y e. A |-> ( g ` y ) )
21	19, 20	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A )
22	1	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> A e. _V )
23		elex 3212	. . . . 5 |- ( U. A e. dom card -> U. A e. _V )
24	23	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> U. A e. _V )
25		fex2 7121	. . . 4 |- ( ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A /\ A e. _V /\ U. A e. _V ) -> ( y e. A |-> ( g ` y ) ) e. _V )
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> ( y e. A |-> ( g ` y ) ) e. _V )
27		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( g ` y ) = ( g ` x ) )
28		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( g ` x ) e. _V
29	27, 20, 28	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x <-> ( g ` x ) e. x ) )
31	30	ralbiia 2979	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x <-> A. x e. A ( g ` x ) e. x )
32	12, 31	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x )
33	21, 32	jca 554	. . 3 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x ) )
34		feq1 6026	. . . . 5 |- ( f = ( y e. A |-> ( g ` y ) ) -> ( f : A --> U. A <-> ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A ) )
35		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = ( y e. A |-> ( g ` y ) ) -> ( f ` x ) = ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( f = ( y e. A |-> ( g ` y ) ) -> ( ( f ` x ) e. x <-> ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( f = ( y e. A |-> ( g ` y ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. x <-> A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x ) )
38	34, 37	anbi12d 747	. . . 4 |- ( f = ( y e. A |-> ( g ` y ) ) -> ( ( f : A --> U. A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) <-> ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x ) ) )
39	38	spcegv 3294	. . 3 |- ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) e. _V -> ( ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) : A --> U. A /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( g ` y ) ) ` x ) e. x ) -> E. f ( f : A --> U. A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) ) )
40	26, 33, 39	sylc 65	. 2 |- ( ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> E. f ( f : A --> U. A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )
41	5, 40	exlimddv 1863	1 |- ( ( U. A e. dom card /\ -. (/) e. A ) -> E. f ( f : A --> U. A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   We wwe 5072   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-en 7956  df-card 8765

This theorem is referenced by:  numacn  8872  ac5b  9300  ac6num  9301