Theorem ac6num 9301

Description: A version of ac6 9302 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6num	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   y, f, B, x   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4550	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A { y e. B | ph }
2	1	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ x U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card
3		ssiun2 4563	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } )
4		ssexg 4804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> { y e. B | ph } e. _V )
5	4	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } -> { y e. B | ph } e. _V ) )
6	3, 5	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( x e. A -> { y e. B | ph } e. _V ) )
7	2, 6	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
8		dfiun2g 4552	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = ( x e. A |-> { y e. B | ph } )
11	10	rnmpt 5371	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
12	11	unieqi 4445	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
13	9, 12	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
15	13, 14	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
16	15	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
17		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A E. y e. B ph )
18		necom 2847	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> (/) =/= { y e. B | ph } )
19		rabn0 3958	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
20		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { y e. B | ph } <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
21	18, 19, 20	3bitr3i 290	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ph <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
22	21	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } )
23		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
24	22, 23	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
25	17, 24	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
26		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
27	10	elrnmpt 5372	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
29	25, 28	sylnibr 319	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
30		ac5num 8859	. . 3 |- ( ( U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card /\ -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
31	16, 29, 30	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
32		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) -> g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
33	32	anim1i 592	. . . . 5 |- ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
34	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( g ` z ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
36		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> z = { y e. B | ph } )
37	35, 36	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
38	10, 37	ralrnmpt 6368	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
40	39	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) <-> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
41	33, 40	syl5ib 234	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
42	3	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
43	42	ralimia 2950	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
44	43	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
45		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
46		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } )
47	46, 1	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
48		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( g ` { y e. B | ph } ) = [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
50	45, 47, 49	cbvral 3167	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
51	44, 50	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( g ` { y e. B | ph } )
53	52, 46, 48	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( z e. A |-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
54	53	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
55	51, 54	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
56		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A e. V )
57		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
58		fex2 7121	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } /\ A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
60		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | ph } C_ B
61	60	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
62	61	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
63	62	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
64		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
65	64	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
66	63, 65	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
67		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
68	67	elrabsf 3474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } <-> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. B /\ [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
69	68	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
70	69	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
71	70	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
72	66, 71	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
73		feq1 6026	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f : A --> B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B ) )
74		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
75	74	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
76		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
78	76, 77	sbcie 3470	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> ps )
79		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) )
80		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V
81	64	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
82	80, 81	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
83	79, 82	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
84	83	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
85	78, 84	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( ps <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
86	75, 85	ralbida 2982	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
87	73, 86	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) <-> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) ) )
88	87	spcegv 3294	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V -> ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
89	59, 72, 88	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )
90	89	ex 450	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
91	41, 90	syld 47	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
92	91	exlimdv 1861	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
93	31, 92	mpd 15	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-en 7956  df-card 8765

This theorem is referenced by:  ac6  9302  ptcmplem3  21858  poimirlem32  33441