MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem acsfn 16320
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( T C_ a -> K e. a ) } e. (ACS ` X ) )
Distinct variable groups:   K, a   T, a   V, a   X, a
Proof of Theorem acsfn
Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5926 . . . . . . 7 |- Fun ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) )
2 funiunfv 6506 . . . . . . 7 |- ( Fun ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) -> U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) ` c ) = U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) )
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) ` c ) = U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) )
4 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P a i^i Fin ) C_ ~P a
54sseli 3599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> c e. ~P a )
65elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> c C_ a )
7 elpwi 4168 . . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
86, 7sylan9ssr 3617 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ~P X /\ c e. ( ~P a i^i Fin ) ) -> c C_ X )
9 selpw 4165 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ~P X <-> c C_ X )
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ~P X /\ c e. ( ~P a i^i Fin ) ) -> c e. ~P X )
1110adantll 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) /\ c e. ( ~P a i^i Fin ) ) -> c e. ~P X )
12 eqeq1 2626 . . . . . . . . . 10 |- ( b = c -> ( b = T <-> c = T ) )
1312ifbid 4108 . . . . . . . . 9 |- ( b = c -> if ( b = T , { K } , (/) ) = if ( c = T , { K } , (/) ) )
14 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) = ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) )
15 snex 4908 . . . . . . . . . 10 |- { K } e. _V
16 0ex 4790 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
1715, 16ifex 4156 . . . . . . . . 9 |- if ( c = T , { K } , (/) ) e. _V
1813, 14, 17fvmpt 6282 . . . . . . . 8 |- ( c e. ~P X -> ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) ` c ) = if ( c = T , { K } , (/) ) )
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) /\ c e. ( ~P a i^i Fin ) ) -> ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) ` c ) = if ( c = T , { K } , (/) ) )
2019iuneq2dv 4542 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) ` c ) = U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) )
213, 20eqtr3d 2658 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) = U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) )
2221sseq1d 3632 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) C_ a <-> U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a ) )
23 iunss 4561 . . . . 5 |- ( U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> A. c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a )
24 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( { K } = if ( c = T , { K } , (/) ) -> ( { K } C_ a <-> if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a ) )
2524bibi1d 333 . . . . . . . 8 |- ( { K } = if ( c = T , { K } , (/) ) -> ( ( { K } C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) <-> ( if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) ) )
26 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( (/) = if ( c = T , { K } , (/) ) -> ( (/) C_ a <-> if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a ) )
2726bibi1d 333 . . . . . . . 8 |- ( (/) = if ( c = T , { K } , (/) ) -> ( ( (/) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) <-> ( if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) ) )
28 snssg 4327 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. X -> ( K e. a <-> { K } C_ a ) )
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. X /\ c = T ) -> ( K e. a <-> { K } C_ a ) )
30 biimt 350 . . . . . . . . . 10 |- ( c = T -> ( K e. a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. X /\ c = T ) -> ( K e. a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
3229, 31bitr3d 270 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. X /\ c = T ) -> ( { K } C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
33 0ss 3972 . . . . . . . . . . 11 |- (/) C_ a
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( -. c = T -> (/) C_ a )
35 pm2.21 120 . . . . . . . . . 10 |- ( -. c = T -> ( c = T -> K e. a ) )
3634, 352thd 255 . . . . . . . . 9 |- ( -. c = T -> ( (/) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
3736adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. X /\ -. c = T ) -> ( (/) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
3825, 27, 32, 37ifbothda 4123 . . . . . . 7 |- ( K e. X -> ( if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> ( c = T -> K e. a ) ) )
3938ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( K e. X -> ( A. c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) ) )
4039ad3antlr 767 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) ) )
4123, 40syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( U_ c e. ( ~P a i^i Fin ) if ( c = T , { K } , (/) ) C_ a <-> A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) ) )
42 sspwb 4917 . . . . . . . . 9 |- ( a C_ X <-> ~P a C_ ~P X )
437, 42sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( a e. ~P X -> ~P a C_ ~P X )
444, 43syl5ss 3614 . . . . . . 7 |- ( a e. ~P X -> ( ~P a i^i Fin ) C_ ~P X )
4544adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( ~P a i^i Fin ) C_ ~P X )
46 ralss 3668 . . . . . 6 |- ( ( ~P a i^i Fin ) C_ ~P X -> ( A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) <-> A. c e. ~P X ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> ( c = T -> K e. a ) ) ) )
4745, 46syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) <-> A. c e. ~P X ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> ( c = T -> K e. a ) ) ) )
48 bi2.04 376 . . . . . . 7 |- ( ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> ( c = T -> K e. a ) ) <-> ( c = T -> ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
4948ralbii 2980 . . . . . 6 |- ( A. c e. ~P X ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> ( c = T -> K e. a ) ) <-> A. c e. ~P X ( c = T -> ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
50 elpwg 4166 . . . . . . . . 9 |- ( T e. Fin -> ( T e. ~P X <-> T C_ X ) )
5150biimparc 504 . . . . . . . 8 |- ( ( T C_ X /\ T e. Fin ) -> T e. ~P X )
5251ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> T e. ~P X )
53 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( c = T -> ( c e. ( ~P a i^i Fin ) <-> T e. ( ~P a i^i Fin ) ) )
5453imbi1d 331 . . . . . . . 8 |- ( c = T -> ( ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) <-> ( T e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
5554ceqsralv 3234 . . . . . . 7 |- ( T e. ~P X -> ( A. c e. ~P X ( c = T -> ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) <-> ( T e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
5652, 55syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. c e. ~P X ( c = T -> ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) <-> ( T e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
5749, 56syl5bb 272 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. c e. ~P X ( c e. ( ~P a i^i Fin ) -> ( c = T -> K e. a ) ) <-> ( T e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) ) )
58 vex 3203 . . . . . . . 8 |- a e. _V
5958elpw2 4828 . . . . . . 7 |- ( T e. ~P a <-> T C_ a )
60 simplrr 801 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> T e. Fin )
6160biantrud 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( T e. ~P a <-> ( T e. ~P a /\ T e. Fin ) ) )
62 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( T e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( T e. ~P a /\ T e. Fin ) )
6361, 62syl6bbr 278 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( T e. ~P a <-> T e. ( ~P a i^i Fin ) ) )
6459, 63syl5rbbr 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( T e. ( ~P a i^i Fin ) <-> T C_ a ) )
6564imbi1d 331 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( ( T e. ( ~P a i^i Fin ) -> K e. a ) <-> ( T C_ a -> K e. a ) ) )
6647, 57, 653bitrd 294 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. c e. ( ~P a i^i Fin ) ( c = T -> K e. a ) <-> ( T C_ a -> K e. a ) ) )
6722, 41, 663bitrrd 295 . . 3 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ a e. ~P X ) -> ( ( T C_ a -> K e. a ) <-> U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) C_ a ) )
6867rabbidva 3188 . 2 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( T C_ a -> K e. a ) } = { a e. ~P X | U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) C_ a } )
69 simpll 790 . . 3 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> X e. V )
70 snelpwi 4912 . . . . . . 7 |- ( K e. X -> { K } e. ~P X )
7170ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> { K } e. ~P X )
72 0elpw 4834 . . . . . 6 |- (/) e. ~P X
73 ifcl 4130 . . . . . 6 |- ( ( { K } e. ~P X /\ (/) e. ~P X ) -> if ( b = T , { K } , (/) ) e. ~P X )
7471, 72, 73sylancl 694 . . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> if ( b = T , { K } , (/) ) e. ~P X )
7574adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) /\ b e. ~P X ) -> if ( b = T , { K } , (/) ) e. ~P X )
7675, 14fmptd 6385 . . 3 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) : ~P X --> ~P X )
77 isacs1i 16318 . . 3 |- ( ( X e. V /\ ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) : ~P X --> ~P X ) -> { a e. ~P X | U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) C_ a } e. (ACS ` X ) )
7869, 76, 77syl2anc 693 . 2 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | U. ( ( b e. ~P X |-> if ( b = T , { K } , (/) ) ) " ( ~P a i^i Fin ) ) C_ a } e. (ACS ` X ) )
7968, 78eqeltrd 2701 1 |- ( ( ( X e. V /\ K e. X ) /\ ( T C_ X /\ T e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( T C_ a -> K e. a ) } e. (ACS ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955  ACScacs 16245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-mre 16246  df-acs 16249
This theorem is referenced by:  acsfn0  16321  acsfn1  16322  acsfn2  16324  acsfn1p  37769
  Copyright terms: Public domain W3C validator