Theorem acsfn2 16324

Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn2	|- ( ( X e. V /\ A. b e. X A. c e. X E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. a A. c e. a E e. a } e. (ACS ` X ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, V   X, a, b, c   E, a

Allowed substitution hints:   E( b, c)

Proof of Theorem acsfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
2		ralss 3668	. . . . . 6 |- ( a C_ X -> ( A. b e. a A. c e. a E e. a <-> A. b e. X ( b e. a -> A. c e. a E e. a ) ) )
3		ralss 3668	. . . . . . . 8 |- ( a C_ X -> ( A. c e. a ( b e. a -> E e. a ) <-> A. c e. X ( c e. a -> ( b e. a -> E e. a ) ) ) )
4		r19.21v 2960	. . . . . . . 8 |- ( A. c e. a ( b e. a -> E e. a ) <-> ( b e. a -> A. c e. a E e. a ) )
5		impexp 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c e. a /\ b e. a ) -> E e. a ) <-> ( c e. a -> ( b e. a -> E e. a ) ) )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. _V
7		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- b e. _V
8	6, 7	prss 4351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. a /\ b e. a ) <-> { c , b } C_ a )
9	8	imbi1i 339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c e. a /\ b e. a ) -> E e. a ) <-> ( { c , b } C_ a -> E e. a ) )
10	5, 9	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. a -> ( b e. a -> E e. a ) ) <-> ( { c , b } C_ a -> E e. a ) )
11	10	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. c e. X ( c e. a -> ( b e. a -> E e. a ) ) <-> A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) )
12	3, 4, 11	3bitr3g 302	. . . . . . 7 |- ( a C_ X -> ( ( b e. a -> A. c e. a E e. a ) <-> A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( a C_ X -> ( A. b e. X ( b e. a -> A. c e. a E e. a ) <-> A. b e. X A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) ) )
14	2, 13	bitrd 268	. . . . 5 |- ( a C_ X -> ( A. b e. a A. c e. a E e. a <-> A. b e. X A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) ) )
15	1, 14	syl 17	. . . 4 |- ( a e. ~P X -> ( A. b e. a A. c e. a E e. a <-> A. b e. X A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) ) )
16	15	rabbiia 3185	. . 3 |- { a e. ~P X | A. b e. a A. c e. a E e. a } = { a e. ~P X | A. b e. X A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) }
17		riinrab 4596	. . 3 |- ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) = { a e. ~P X | A. b e. X A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) }
18	16, 17	eqtr4i 2647	. 2 |- { a e. ~P X | A. b e. a A. c e. a E e. a } = ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } )
19		mreacs 16319	. . . 4 |- ( X e. V -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
20	19	adantr 481	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X A. c e. X E e. X ) -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
21		riinrab 4596	. . . . . . 7 |- ( ~P X i^i |^|_ c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) = { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) }
22	19	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ A. c e. X E e. X ) -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
23		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ ( c e. X /\ E e. X ) ) -> X e. V )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ ( c e. X /\ E e. X ) ) -> E e. X )
25		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. X /\ b e. X ) -> { c , b } C_ X )
26	25	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. X /\ c e. X ) -> { c , b } C_ X )
27	26	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ ( c e. X /\ E e. X ) ) -> { c , b } C_ X )
28		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . 13 |- { c , b } e. Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ ( c e. X /\ E e. X ) ) -> { c , b } e. Fin )
30		acsfn 16320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ E e. X ) /\ ( { c , b } C_ X /\ { c , b } e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
31	23, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ ( c e. X /\ E e. X ) ) -> { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
32	31	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ c e. X ) -> ( E e. X -> { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
33	32	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ b e. X ) -> ( A. c e. X E e. X -> A. c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ A. c e. X E e. X ) -> A. c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
35		mreriincl 16258	. . . . . . . 8 |- ( ( (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) /\ A. c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
36	22, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ A. c e. X E e. X ) -> ( ~P X i^i |^|_ c e. X { a e. ~P X | ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
37	21, 36	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ A. c e. X E e. X ) -> { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
38	37	ex 450	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ b e. X ) -> ( A. c e. X E e. X -> { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
39	38	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( X e. V -> ( A. b e. X A. c e. X E e. X -> A. b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
40	39	imp 445	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X A. c e. X E e. X ) -> A. b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
41		mreriincl 16258	. . 3 |- ( ( (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) /\ A. b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
42	20, 40, 41	syl2anc 693	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X A. c e. X E e. X ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | A. c e. X ( { c , b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
43	18, 42	syl5eqel 2705	1 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X A. c e. X E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. a A. c e. a E e. a } e. (ACS ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  ACScacs 16245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249

This theorem is referenced by:  submacs  17365  submgmacs  41804