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Theorem acsfn1p 37769
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. ( a i^i Y ) E e. a } e. (ACS ` X ) )
Distinct variable groups:   a, b, V   E, a   X, a, b   Y, a, b
Allowed substitution hint:   E( b)
Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4596 . . 3 |- ( ~P X i^i |^|_ b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) = { a e. ~P X | A. b e. ( X i^i Y ) ( { b } C_ a -> E e. a ) }
2 elpwi 4168 . . . . . . . 8 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
3 ssrin 3838 . . . . . . . 8 |- ( a C_ X -> ( a i^i Y ) C_ ( X i^i Y ) )
42, 3syl 17 . . . . . . 7 |- ( a e. ~P X -> ( a i^i Y ) C_ ( X i^i Y ) )
54adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) /\ a e. ~P X ) -> ( a i^i Y ) C_ ( X i^i Y ) )
6 ralss 3668 . . . . . 6 |- ( ( a i^i Y ) C_ ( X i^i Y ) -> ( A. b e. ( a i^i Y ) E e. a <-> A. b e. ( X i^i Y ) ( b e. ( a i^i Y ) -> E e. a ) ) )
75, 6syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. b e. ( a i^i Y ) E e. a <-> A. b e. ( X i^i Y ) ( b e. ( a i^i Y ) -> E e. a ) ) )
8 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( X i^i Y ) C_ Y
98sseli 3599 . . . . . . . . 9 |- ( b e. ( X i^i Y ) -> b e. Y )
109biantrud 528 . . . . . . . 8 |- ( b e. ( X i^i Y ) -> ( b e. a <-> ( b e. a /\ b e. Y ) ) )
11 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- b e. _V
1211snss 4316 . . . . . . . . 9 |- ( b e. a <-> { b } C_ a )
1312bicomi 214 . . . . . . . 8 |- ( { b } C_ a <-> b e. a )
14 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( b e. ( a i^i Y ) <-> ( b e. a /\ b e. Y ) )
1510, 13, 143bitr4g 303 . . . . . . 7 |- ( b e. ( X i^i Y ) -> ( { b } C_ a <-> b e. ( a i^i Y ) ) )
1615imbi1d 331 . . . . . 6 |- ( b e. ( X i^i Y ) -> ( ( { b } C_ a -> E e. a ) <-> ( b e. ( a i^i Y ) -> E e. a ) ) )
1716ralbiia 2979 . . . . 5 |- ( A. b e. ( X i^i Y ) ( { b } C_ a -> E e. a ) <-> A. b e. ( X i^i Y ) ( b e. ( a i^i Y ) -> E e. a ) )
187, 17syl6rbbr 279 . . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) /\ a e. ~P X ) -> ( A. b e. ( X i^i Y ) ( { b } C_ a -> E e. a ) <-> A. b e. ( a i^i Y ) E e. a ) )
1918rabbidva 3188 . . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. ( X i^i Y ) ( { b } C_ a -> E e. a ) } = { a e. ~P X | A. b e. ( a i^i Y ) E e. a } )
201, 19syl5eq 2668 . 2 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) = { a e. ~P X | A. b e. ( a i^i Y ) E e. a } )
21 mreacs 16319 . . . 4 |- ( X e. V -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
2221adantr 481 . . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
23 ssralv 3666 . . . . . 6 |- ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( A. b e. Y E e. X -> A. b e. ( X i^i Y ) E e. X ) )
248, 23ax-mp 5 . . . . 5 |- ( A. b e. Y E e. X -> A. b e. ( X i^i Y ) E e. X )
25 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> X e. V )
26 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> E e. X )
27 inss1 3833 . . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i Y ) C_ X
2827sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( X i^i Y ) -> b e. X )
2928ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> b e. X )
3029snssd 4340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> { b } C_ X )
31 snfi 8038 . . . . . . . . 9 |- { b } e. Fin
3231a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> { b } e. Fin )
33 acsfn 16320 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ E e. X ) /\ ( { b } C_ X /\ { b } e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
3425, 26, 30, 32, 33syl22anc 1327 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) /\ E e. X ) -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
3534ex 450 . . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ b e. ( X i^i Y ) ) -> ( E e. X -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
3635ralimdva 2962 . . . . 5 |- ( X e. V -> ( A. b e. ( X i^i Y ) E e. X -> A. b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
3724, 36syl5 34 . . . 4 |- ( X e. V -> ( A. b e. Y E e. X -> A. b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
3837imp 445 . . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> A. b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
39 mreriincl 16258 . . 3 |- ( ( (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) /\ A. b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
4022, 38, 39syl2anc 693 . 2 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. ( X i^i Y ) { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
4120, 40eqeltrrd 2702 1 |- ( ( X e. V /\ A. b e. Y E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. ( a i^i Y ) E e. a } e. (ACS ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  ACScacs 16245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249
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