Theorem acsfn1 16322

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1	|- ( ( X e. V /\ A. b e. X E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. a E e. a } e. (ACS ` X ) )

Distinct variable groups:   a, b, V   X, a, b   E, a

Allowed substitution hint:   E( b)

Proof of Theorem acsfn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . . . 6 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
2		ralss 3668	. . . . . 6 |- ( a C_ X -> ( A. b e. a E e. a <-> A. b e. X ( b e. a -> E e. a ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( a e. ~P X -> ( A. b e. a E e. a <-> A. b e. X ( b e. a -> E e. a ) ) )
4		vex 3203	. . . . . . . 8 |- b e. _V
5	4	snss 4316	. . . . . . 7 |- ( b e. a <-> { b } C_ a )
6	5	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( b e. a -> E e. a ) <-> ( { b } C_ a -> E e. a ) )
7	6	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. b e. X ( b e. a -> E e. a ) <-> A. b e. X ( { b } C_ a -> E e. a ) )
8	3, 7	syl6bb 276	. . . 4 |- ( a e. ~P X -> ( A. b e. a E e. a <-> A. b e. X ( { b } C_ a -> E e. a ) ) )
9	8	rabbiia 3185	. . 3 |- { a e. ~P X | A. b e. a E e. a } = { a e. ~P X | A. b e. X ( { b } C_ a -> E e. a ) }
10		riinrab 4596	. . 3 |- ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) = { a e. ~P X | A. b e. X ( { b } C_ a -> E e. a ) }
11	9, 10	eqtr4i 2647	. 2 |- { a e. ~P X | A. b e. a E e. a } = ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } )
12		mreacs 16319	. . . 4 |- ( X e. V -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X E e. X ) -> (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) )
14		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ E e. X ) -> X e. V )
15		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ E e. X ) -> E e. X )
16		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( b e. X -> { b } C_ X )
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ E e. X ) -> { b } C_ X )
18		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { b } e. Fin
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ E e. X ) -> { b } e. Fin )
20		acsfn 16320	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ E e. X ) /\ ( { b } C_ X /\ { b } e. Fin ) ) -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
21	14, 15, 17, 19, 20	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ b e. X ) /\ E e. X ) -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
22	21	ex 450	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ b e. X ) -> ( E e. X -> { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
23	22	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( X e. V -> ( A. b e. X E e. X -> A. b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) )
24	23	imp 445	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X E e. X ) -> A. b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) )
25		mreriincl 16258	. . 3 |- ( ( (ACS ` X ) e. (Moore ` ~P X ) /\ A. b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } e. (ACS ` X ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
26	13, 24, 25	syl2anc 693	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X E e. X ) -> ( ~P X i^i |^|_ b e. X { a e. ~P X | ( { b } C_ a -> E e. a ) } ) e. (ACS ` X ) )
27	11, 26	syl5eqel 2705	1 |- ( ( X e. V /\ A. b e. X E e. X ) -> { a e. ~P X | A. b e. a E e. a } e. (ACS ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  ACScacs 16245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249

This theorem is referenced by:  acsfn1c  16323  subgacs  17629  sdrgacs  37771