Theorem bnj893 30998

Description: Property of trCl. Under certain conditions, the transitive closure of X in A by R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj893	|- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem bnj893

Dummy variables f g i n y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 251	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		biid 251	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) = ( om \ { (/) } )
4		eqid 2622	. . 3 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 30996	. 2 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
7		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) ) )
9	6, 8	sbcie 3470	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
10	9	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f ` suc i ) = ( g ` suc i ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` i ) = ( g ` i ) )
13	12	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) )
14	11, 13	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
17	6, 16	sbcie 3470	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
18	17	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
19	4, 10, 18	bnj873 30994	. . . . . . . 8 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
20	19	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } <-> f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } )
21	20	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) <-> ( f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) )
22	21	rexbii2 3039	. . . . 5 |- ( E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
23	22	abbii 2739	. . . 4 |- { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) } = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
24		df-iun 4522	. . . 4 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
25		df-iun 4522	. . . 4 |- U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2654	. . 3 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
27		biid 251	. . . . 5 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
28		biid 251	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
29		eqid 2622	. . . . 5 |- { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
30		biid 251	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) )
31		biid 251	. . . . 5 |- ( ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
32		biid 251	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
33		biid 251	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
34		biid 251	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
35		biid 251	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A ) )
36	27, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	bnj849 30995	. . . 4 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V )
37		vex 3203	. . . . . . 7 |- f e. _V
38	37	dmex 7099	. . . . . 6 |- dom f e. _V
39		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( f ` i ) e. _V
40	38, 39	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
41	40	rgenw 2924	. . . 4 |- A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
42		iunexg 7143	. . . 4 |- ( ( { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V /\ A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
43	36, 41, 42	sylancl 694	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
44	26, 43	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
45	5, 44	syl5eqel 2705	1 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   dom cdm 5114   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   predc-bnj14 30754   FrSe w-bnj15 30758   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759  df-bnj18 30761

This theorem is referenced by:  bnj1125  31060  bnj1136  31065  bnj1177  31074  bnj1413  31103  bnj1452  31120