Theorem iunex 7147

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for B, which can be read informally as B ( x ). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	|- A e. _V
iunex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunex	|- U_ x e. A B e. _V

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.1	. 2 |- A e. _V
2		iunex.2	. . 3 |- B e. _V
3	2	rgenw 2924	. 2 |- A. x e. A B e. _V
4		iunexg 7143	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. _V ) -> U_ x e. A B e. _V )
5	1, 3, 4	mp2an 708	1 |- U_ x e. A B e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  abrexex2OLD  7150  tz9.1  8605  tz9.1c  8606  cplem2  8753  fseqdom  8849  pwsdompw  9026  cfsmolem  9092  ac6c4  9303  konigthlem  9390  alephreg  9404  pwfseqlem4  9484  pwfseqlem5  9485  pwxpndom2  9487  wunex2  9560  wuncval2  9569  inar1  9597  dfrtrclrec2  13797  rtrclreclem1  13798  rtrclreclem2  13799  rtrclreclem4  13801  isfunc  16524  dfac14  21421  txcmplem2  21445  cnextfval  21866  bnj893  30998  colinearex  32167  volsupnfl  33454  heiborlem3  33612  comptiunov2i  37998  corclrcl  37999  iunrelexpmin1  38000  trclrelexplem  38003  iunrelexpmin2  38004  dftrcl3  38012  trclfvcom  38015  cnvtrclfv  38016  cotrcltrcl  38017  trclimalb2  38018  trclfvdecomr  38020  dfrtrcl3  38025  dfrtrcl4  38030  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034  carageniuncllem1  40735  carageniuncllem2  40736  carageniuncl  40737  caratheodorylem1  40740  caratheodorylem2  40741  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871  smfresal  40995