Theorem carduni 8807

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem carduni

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( card ` x ) = ( card ` y ) )
2		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
3	1, 2	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( card ` x ) = x <-> ( card ` y ) = y ) )
4	3	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` y ) = y ) )
5		cardon 8770	. . . . . . . . 9 |- ( card ` y ) e. On
6		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) e. On <-> y e. On ) )
7	5, 6	mpbii 223	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. On )
8	4, 7	syl6com 37	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( y e. A -> y e. On ) )
9	8	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> A C_ On )
10		ssonuni 6986	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A C_ On -> U. A e. On ) )
11	9, 10	syl5 34	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> U. A e. On ) )
12	11	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> U. A e. On )
13		cardonle 8783	. . . 4 |- ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) C_ U. A )
15		cardon 8770	. . . . 5 |- ( card ` U. A ) e. On
16	15	onirri 5834	. . . 4 |- -. ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A )
17		eluni 4439	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A <-> E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) )
18		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> y C_ U. A )
19		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. A e. On -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y C_ U. A -> y ~<_ U. A ) )
21	18, 20	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y ~<_ U. A ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( card ` y ) = y -> ( card ` y ) = y )
23		onenon 8775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( card ` y ) e. On -> ( card ` y ) e. dom card )
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( card ` y ) e. dom card
25	22, 24	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` y ) = y -> y e. dom card )
26		onenon 8775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. A e. On -> U. A e. dom card )
27		carddom2 8803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. dom card /\ U. A e. dom card ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
28	25, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y ~<_ U. A ) )
29	21, 28	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) ) )
30		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` y ) = y -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( ( card ` y ) C_ ( card ` U. A ) <-> y C_ ( card ` U. A ) ) )
32	29, 31	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> y C_ ( card ` U. A ) ) )
33		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( card ` U. A ) -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
34	32, 33	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( card ` y ) = y /\ U. A e. On ) -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( y e. A -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
36	35	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( ( card ` y ) = y -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
37	4, 36	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( ( card ` U. A ) e. y -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
38	37	com4r 94	. . . . . . . . . 10 |- ( ( card ` U. A ) e. y -> ( y e. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) ) )
39	38	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
40	39	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( ( card ` U. A ) e. y /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
41	17, 40	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( U. A e. On -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
42	41	com13 88	. . . . . 6 |- ( U. A e. On -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) ) )
43	42	imp 445	. . . . 5 |- ( ( U. A e. On /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
44	12, 43	sylancom 701	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) e. U. A -> ( card ` U. A ) e. ( card ` U. A ) ) )
45	16, 44	mtoi 190	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> -. ( card ` U. A ) e. U. A )
46	15	onordi 5832	. . . 4 |- Ord ( card ` U. A )
47		eloni 5733	. . . . 5 |- ( U. A e. On -> Ord U. A )
48	12, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> Ord U. A )
49		ordtri4 5761	. . . 4 |- ( ( Ord ( card ` U. A ) /\ Ord U. A ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
50	46, 48, 49	sylancr 695	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( ( card ` U. A ) = U. A <-> ( ( card ` U. A ) C_ U. A /\ -. ( card ` U. A ) e. U. A ) ) )
51	14, 45, 50	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A ( card ` x ) = x ) -> ( card ` U. A ) = U. A )
52	51	ex 450	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A ( card ` x ) = x -> ( card ` U. A ) = U. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765

This theorem is referenced by:  cardiun  8808  carduniima  8919