Theorem cardon 8770

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	|- ( card ` A ) e. On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 8769	. 2 |- card : { x | E. y e. On y ~~ x } --> On
2		0elon 5778	. 2 |- (/) e. On
3	1, 2	f0cli 6370	1 |- ( card ` A ) e. On

Syntax hints:   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Oncon0 5723   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-card 8765

This theorem is referenced by:  isnum3  8780  cardidm  8785  ficardom  8787  cardne  8791  carden2b  8793  cardlim  8798  cardsdomelir  8799  cardsdomel  8800  iscard  8801  iscard2  8802  carddom2  8803  carduni  8807  cardom  8812  cardsdom2  8814  domtri2  8815  cardval2  8817  infxpidm2  8840  dfac8b  8854  numdom  8861  indcardi  8864  alephnbtwn  8894  alephnbtwn2  8895  alephsucdom  8902  cardaleph  8912  iscard3  8916  alephinit  8918  alephsson  8923  alephval3  8933  dfac12r  8968  dfac12k  8969  cardacda  9020  cdanum  9021  pwsdompw  9026  cff  9070  cardcf  9074  cfon  9077  cfeq0  9078  cfsuc  9079  cff1  9080  cfflb  9081  cflim2  9085  cfss  9087  fin1a2lem9  9230  ttukeylem6  9336  ttukeylem7  9337  unsnen  9375  inar1  9597  tskcard  9603  tskuni  9605  gruina  9640  mreexexdOLD  16309