Theorem onenon 8775

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	|- ( A e. On -> A e. dom card )

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7987	. 2 |- ( A e. On -> A ~~ A )
2		isnumi 8772	. 2 |- ( ( A e. On /\ A ~~ A ) -> A e. dom card )
3	1, 2	mpdan 702	1 |- ( A e. On -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Oncon0 5723   ~~ cen 7952   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-en 7956  df-card 8765

This theorem is referenced by:  oncardval  8781  oncardid  8782  cardnn  8789  iscard  8801  carduni  8807  nnsdomel  8816  harsdom  8821  pm54.43lem  8825  infxpenlem  8836  infxpidm2  8840  onssnum  8863  alephnbtwn  8894  alephnbtwn2  8895  alephordilem1  8896  alephord2  8899  alephsdom  8909  cardaleph  8912  infenaleph  8914  alephinit  8918  iunfictbso  8937  ficardun2  9025  pwsdompw  9026  infunsdom1  9035  ackbij2  9065  cfflb  9081  sdom2en01  9124  fin23lem22  9149  iunctb  9396  alephadd  9399  alephmul  9400  alephexp1  9401  alephsuc3  9402  canthp1lem2  9475  pwfseqlem4a  9483  pwfseqlem4  9484  pwfseqlem5  9485  gchaleph  9493  gchaleph2  9494  hargch  9495  cygctb  18293  ttac  37603  numinfctb  37673  isnumbasgrplem2  37674  isnumbasabl  37676