Theorem pmapglbx 35055

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 35056, where we read S as S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb.b	|- B = ( Base ` K )
pmapglb.g	|- G = ( glb ` K )
pmapglb.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapglbx	|- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> ( M ` ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) ) = |^|_ i e. I ( M ` S ) )

Distinct variable groups:   y, i, B   i, I, y   i, K, y   y, S

Allowed substitution hints:   S( i)   G( y, i)   M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx

Dummy variables p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 34645	. . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. CLat )
3		pmapglb.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5	3, 4	atbase 34576	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> p e. B )
7		r19.29 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. i e. I S e. B /\ E. i e. I y = S ) -> E. i e. I ( S e. B /\ y = S ) )
8		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. B -> ( y = S -> y e. B ) )
9	8	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. B /\ y = S ) -> y e. B )
10	9	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. I ( S e. B /\ y = S ) -> y e. B )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. i e. I S e. B /\ E. i e. I y = S ) -> y e. B )
12	11	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. I S e. B -> ( E. i e. I y = S -> y e. B ) )
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( E. i e. I y = S -> y e. B ) )
14	13	abssdv 3676	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> { y | E. i e. I y = S } C_ B )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
16		pmapglb.g	. . . . . . . 8 |- G = ( glb ` K )
17	3, 15, 16	clatleglb 17126	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ p e. B /\ { y | E. i e. I y = S } C_ B ) -> ( p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) <-> A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z ) )
18	2, 6, 14, 17	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) <-> A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( y = S <-> z = S ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( E. i e. I y = S <-> E. i e. I z = S ) )
22	19, 21	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { y | E. i e. I y = S } <-> E. i e. I z = S )
23	22	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. { y | E. i e. I y = S } -> p ( le ` K ) z ) <-> ( E. i e. I z = S -> p ( le ` K ) z ) )
24		r19.23v 3023	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. I ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> ( E. i e. I z = S -> p ( le ` K ) z ) )
25	23, 24	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { y | E. i e. I y = S } -> p ( le ` K ) z ) <-> A. i e. I ( z = S -> p ( le ` K ) z ) )
26	25	albii 1747	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( z e. { y | E. i e. I y = S } -> p ( le ` K ) z ) <-> A. z A. i e. I ( z = S -> p ( le ` K ) z ) )
27		df-ral 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z <-> A. z ( z e. { y | E. i e. I y = S } -> p ( le ` K ) z ) )
28		ralcom4 3224	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. I A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> A. z A. i e. I ( z = S -> p ( le ` K ) z ) )
29	26, 27, 28	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z <-> A. i e. I A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z p ( le ` K ) S
31		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( p ( le ` K ) z <-> p ( le ` K ) S ) )
32	30, 31	ceqsalg 3230	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. B -> ( A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> p ( le ` K ) S ) )
33	32	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. I S e. B -> A. i e. I ( A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> p ( le ` K ) S ) )
34		ralbi 3068	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. I ( A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> p ( le ` K ) S ) -> ( A. i e. I A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> A. i e. I p ( le ` K ) S ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. I S e. B -> ( A. i e. I A. z ( z = S -> p ( le ` K ) z ) <-> A. i e. I p ( le ` K ) S ) )
36	29, 35	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( A. i e. I S e. B -> ( A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z <-> A. i e. I p ( le ` K ) S ) )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( A. z e. { y | E. i e. I y = S } p ( le ` K ) z <-> A. i e. I p ( le ` K ) S ) )
38	18, 37	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) <-> A. i e. I p ( le ` K ) S ) )
39	38	rabbidva 3188	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) } = { p e. ( Atoms ` K ) | A. i e. I p ( le ` K ) S } )
40	39	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) } = { p e. ( Atoms ` K ) | A. i e. I p ( le ` K ) S } )
41		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> K e. HL )
42	12	abssdv 3676	. . . . . 6 |- ( A. i e. I S e. B -> { y | E. i e. I y = S } C_ B )
43	3, 16	clatglbcl 17114	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ { y | E. i e. I y = S } C_ B ) -> ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) e. B )
44	1, 42, 43	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) e. B )
45	44	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) e. B )
46		pmapglb.m	. . . . 5 |- M = ( pmap ` K )
47	3, 15, 4, 46	pmapval 35043	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) e. B ) -> ( M ` ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) } )
48	41, 45, 47	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> ( M ` ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) } )
49		iinrab 4582	. . . 4 |- ( I =/= (/) -> |^|_ i e. I { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } = { p e. ( Atoms ` K ) | A. i e. I p ( le ` K ) S } )
50	49	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> |^|_ i e. I { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } = { p e. ( Atoms ` K ) | A. i e. I p ( le ` K ) S } )
51	40, 48, 50	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> ( M ` ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) ) = |^|_ i e. I { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } )
52		nfv 1843	. . . 4 |- F/ i K e. HL
53		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ i A. i e. I S e. B
54		nfv 1843	. . . 4 |- F/ i I =/= (/)
55	52, 53, 54	nf3an 1831	. . 3 |- F/ i ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) )
56		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) /\ i e. I ) -> K e. HL )
57		rspa 2930	. . . . 5 |- ( ( A. i e. I S e. B /\ i e. I ) -> S e. B )
58	57	3ad2antl2 1224	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) /\ i e. I ) -> S e. B )
59	3, 15, 4, 46	pmapval 35043	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( M ` S ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } )
60	56, 58, 59	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) /\ i e. I ) -> ( M ` S ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } )
61	55, 60	iineq2d 4541	. 2 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> |^|_ i e. I ( M ` S ) = |^|_ i e. I { p e. ( Atoms ` K ) | p ( le ` K ) S } )
62	51, 61	eqtr4d 2659	1 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B /\ I =/= (/) ) -> ( M ` ( G ` { y | E. i e. I y = S } ) ) = |^|_ i e. I ( M ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   CLatccla 17107   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108  df-ats 34554  df-hlat 34638  df-pmap 34790

This theorem is referenced by:  pmapglb  35056  pmapglb2xN  35058