Theorem cmpcovf 21194

Description: Combine cmpcov 21192 with ac6sfi 8204 to show the existence of a function that indexes the elements that are generating the open cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmp.1	|- X = U. J
cmpcovf.2	|- ( z = ( f ` y ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cmpcovf	|- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ E. z e. A ph ) ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) )

Distinct variable groups:   f, s, x, y, z, A   J, s, x, y, z   ph, f, s, x   ps, s, z   x, X, s

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   ps( x, y, f)   J( f)   X( y, z, f)

Proof of Theorem cmpcovf

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ E. z e. A ph ) ) -> J e. Comp )
2		iscmp.1	. . 3 |- X = U. J
3	2	cmpcov2 21193	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ E. z e. A ph ) ) -> E. u e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) )
4		elfpw 8268	. . . 4 |- ( u e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( u C_ J /\ u e. Fin ) )
5		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> u C_ J )
6		selpw 4165	. . . . . . . 8 |- ( u e. ~P J <-> u C_ J )
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> u e. ~P J )
8		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> u e. Fin )
9	7, 8	elind 3798	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> u e. ( ~P J i^i Fin ) )
10		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> X = U. u )
11		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> A. y e. u E. z e. A ph )
12		cmpcovf.2	. . . . . . . 8 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ph <-> ps ) )
13	12	ac6sfi 8204	. . . . . . 7 |- ( ( u e. Fin /\ A. y e. u E. z e. A ph ) -> E. f ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) )
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> E. f ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) )
15		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( s = u -> U. s = U. u )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( s = u -> ( X = U. s <-> X = U. u ) )
17		feq2 6027	. . . . . . . . . 10 |- ( s = u -> ( f : s --> A <-> f : u --> A ) )
18		raleq 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( s = u -> ( A. y e. s ps <-> A. y e. u ps ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( s = u -> ( ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) <-> ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) ) )
20	19	exbidv 1850	. . . . . . . 8 |- ( s = u -> ( E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) <-> E. f ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) ) )
21	16, 20	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( s = u -> ( ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) <-> ( X = U. u /\ E. f ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( ~P J i^i Fin ) /\ ( X = U. u /\ E. f ( f : u --> A /\ A. y e. u ps ) ) ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) )
23	9, 10, 14, 22	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) /\ ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) )
24	23	ex 450	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ ( u C_ J /\ u e. Fin ) ) -> ( ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) ) )
25	4, 24	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ u e. ( ~P J i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) ) )
26	25	rexlimdva 3031	. 2 |- ( J e. Comp -> ( E. u e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. u /\ A. y e. u E. z e. A ph ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) ) )
27	1, 3, 26	sylc 65	1 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ E. z e. A ph ) ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ E. f ( f : s --> A /\ A. y e. s ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  txtube  21443  txcmplem1  21444  txcmplem2  21445  xkococnlem  21462  cnheibor  22754  heicant  33444