Theorem cncmp 21195

Description: Compactness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncmp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncmp	|- ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Comp )

Proof of Theorem cncmp

Dummy variables c d s u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop2 21045	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
3		elpwi 4168	. . . 4 |- ( u e. ~P K -> u C_ K )
4		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> J e. Comp )
5		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> u C_ K )
6	5	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> y e. K )
7		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
8		cnima 21069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
9	7, 8	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
10	6, 9	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> ( `' F " y ) e. J )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) = ( y e. u |-> ( `' F " y ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) : u --> J )
13		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) : u --> J -> ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) C_ J )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) C_ J )
15		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> Y = U. u )
16	15	imaeq2d 5466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( `' F " Y ) = ( `' F " U. u ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
18		cncmp.2	. . . . . . . . . . 11 |- Y = U. K
19	17, 18	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> F : U. J --> Y )
21		fimacnv 6347	. . . . . . . . 9 |- ( F : U. J --> Y -> ( `' F " Y ) = U. J )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( `' F " Y ) = U. J )
23	10	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> A. y e. u ( `' F " y ) e. J )
24		dfiun2g 4552	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. u ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. u ( `' F " y ) = U. { x | E. y e. u x = ( `' F " y ) } )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> U_ y e. u ( `' F " y ) = U. { x | E. y e. u x = ( `' F " y ) } )
26		imauni 6504	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " U. u ) = U_ y e. u ( `' F " y )
27	11	rnmpt 5371	. . . . . . . . . 10 |- ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) = { x | E. y e. u x = ( `' F " y ) }
28	27	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) = U. { x | E. y e. u x = ( `' F " y ) }
29	25, 26, 28	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( `' F " U. u ) = U. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) )
30	16, 22, 29	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> U. J = U. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) )
31	17	cmpcov 21192	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) C_ J /\ U. J = U. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ) -> E. s e. ( ~P ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) i^i Fin ) U. J = U. s )
32	4, 14, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> E. s e. ( ~P ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) i^i Fin ) U. J = U. s )
33		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ~P ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) i^i Fin ) <-> ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) )
34		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) )
35	34	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) /\ c e. s ) -> c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) )
36		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> F : X -onto-> Y )
37		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. K -> y C_ U. K )
38	37, 18	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. K -> y C_ Y )
39	6, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> y C_ Y )
40		foimacnv 6154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ y C_ Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
41	36, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> y e. u )
43	41, 42	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ y e. u ) -> ( F " ( `' F " y ) ) e. u )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> A. y e. u ( F " ( `' F " y ) ) e. u )
45		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = ( `' F " y ) -> ( F " c ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ( `' F " y ) -> ( ( F " c ) e. u <-> ( F " ( `' F " y ) ) e. u ) )
47	11, 46	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. u ( `' F " y ) e. J -> ( A. c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ( F " c ) e. u <-> A. y e. u ( F " ( `' F " y ) ) e. u ) )
48	23, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( A. c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ( F " c ) e. u <-> A. y e. u ( F " ( `' F " y ) ) e. u ) )
49	44, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> A. c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ( F " c ) e. u )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> A. c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ( F " c ) e. u )
51	50	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) /\ c e. ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) ) -> ( F " c ) e. u )
52	35, 51	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) /\ c e. s ) -> ( F " c ) e. u )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. s |-> ( F " c ) ) = ( c e. s |-> ( F " c ) )
54	52, 53	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ( c e. s |-> ( F " c ) ) : s --> u )
55		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. s |-> ( F " c ) ) : s --> u -> ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) C_ u )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) C_ u )
57		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> s e. Fin )
58	53	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) = { d | E. c e. s d = ( F " c ) }
59		abrexfi 8266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. Fin -> { d | E. c e. s d = ( F " c ) } e. Fin )
60	58, 59	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. Fin -> ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. Fin )
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. Fin )
62		elfpw 8268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) C_ u /\ ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. Fin ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
64	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> F : U. J --> Y )
65		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : U. J --> Y -> dom F = U. J )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> dom F = U. J )
67		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> F : X -onto-> Y )
68		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
69		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> dom F = X )
71		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> U. J = U. s )
72	66, 70, 71	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> X = U. s )
73	72	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ( F " X ) = ( F " U. s ) )
74		foima 6120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
75	67, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ( F " X ) = Y )
76	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> A. c e. s ( F " c ) e. u )
77		dfiun2g 4552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. c e. s ( F " c ) e. u -> U_ c e. s ( F " c ) = U. { d | E. c e. s d = ( F " c ) } )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> U_ c e. s ( F " c ) = U. { d | E. c e. s d = ( F " c ) } )
79		imauni 6504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " U. s ) = U_ c e. s ( F " c )
80	58	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) = U. { d | E. c e. s d = ( F " c ) }
81	78, 79, 80	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> ( F " U. s ) = U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) )
82	73, 75, 81	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> Y = U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) )
83		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) -> U. v = U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) )
84	83	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) -> ( Y = U. v <-> Y = U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) ) )
85	84	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ Y = U. ran ( c e. s |-> ( F " c ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v )
86	63, 82, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) /\ U. J = U. s ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v )
87	86	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ ( s C_ ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) /\ s e. Fin ) ) -> ( U. J = U. s -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
88	33, 87	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) /\ s e. ( ~P ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) i^i Fin ) ) -> ( U. J = U. s -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
89	88	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> ( E. s e. ( ~P ran ( y e. u |-> ( `' F " y ) ) i^i Fin ) U. J = U. s -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
90	32, 89	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u C_ K /\ Y = U. u ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v )
91	90	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ u C_ K ) -> ( Y = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
92	3, 91	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ u e. ~P K ) -> ( Y = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
93	92	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. u e. ~P K ( Y = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) )
94	18	iscmp 21191	. 2 |- ( K e. Comp <-> ( K e. Top /\ A. u e. ~P K ( Y = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) Y = U. v ) ) )
95	2, 93, 94	sylanbrc 698	1 |- ( ( J e. Comp /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  rncmp  21199  txcmpb  21447  qtopcmp  21511  cmphmph  21591