Theorem cnheibor 22754

Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )

Assertion

Ref	Expression
cnheibor	|- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, T   J, r, x   X, r, x

Proof of Theorem cnheibor

Dummy variables z u f s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldhaus 22588	. . . . 5 |- J e. Haus
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> J e. Haus )
4		simpl 473	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X C_ CC )
5		cnheibor.3	. . . . 5 |- T = ( J ↾t X )
6		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> T e. Comp )
7	5, 6	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( J ↾t X ) e. Comp )
8	1	cnfldtopon 22586	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	toponunii 20721	. . . . 5 |- CC = U. J
10	9	hauscmp 21210	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ X C_ CC /\ ( J ↾t X ) e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
12	1	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . 11 |- J e. Top
13	9	restuni 20966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X C_ CC ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
14	12, 4, 13	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
15	5	unieqi 4445	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( J ↾t X )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. T )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( x e. X <-> x e. U. T ) )
18	17	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> x e. X )
19	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> J e. Top )
20		cnex 10017	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
21		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
22	4, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. _V )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> X e. _V )
24		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
26		0cnd 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 e. CC )
27	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. CC )
28	27	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
29		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
31	30	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* )
32	1	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
33	32	blopn 22305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
35		elrestr 16089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X e. _V /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
36	19, 23, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
37	36, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T )
38		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. CC
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
40	39	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
41	38, 40	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
42		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u x = ( 0 - x )
43	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u x ) = ( abs ` ( 0 - x ) )
44		absneg 14017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( abs ` -u x ) = ( abs ` x ) )
45	43, 44	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( abs ` ( 0 - x ) ) = ( abs ` x ) )
46	41, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
47	27, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
48	28	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
49	47, 48	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
50		elbl 22193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
51	25, 26, 31, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
52	27, 49, 51	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
53		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. X )
54	52, 53	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
55	27	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
56	28, 55	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ )
57		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X )
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
59	58	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
60	59	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ /\ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
62	56, 57, 61	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
63		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( x e. u <-> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
64		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
65	64	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
66	63, 65	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) <-> ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) )
67	66	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T /\ ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
68	37, 54, 62, 67	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
69	18, 68	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
70	69	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
71		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. T = U. T
72		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( r = ( f ` u ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) )
73	72	ineq1d 3813	. . . . . . 7 |- ( r = ( f ` u ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( r = ( f ` u ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) )
75	71, 74	cmpcovf 21194	. . . . 5 |- ( ( T e. Comp /\ A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
76	6, 70, 75	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
77	16	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. T )
78		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> U. T = U. s )
79	77, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. s )
80	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> x e. U. s ) )
81		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. s <-> E. z e. s x e. z )
82	80, 81	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> E. z e. s x e. z ) )
83		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. s -> z C_ U. s )
84	83	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ U. s )
85	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X = U. s )
86	84, 85	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ X )
87		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X C_ CC )
88	86, 87	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ CC )
89		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. z )
90	88, 89	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. CC )
91	90	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
92		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> r e. RR )
93		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> f : s --> RR+ )
94	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> f : s --> RR+ )
95		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z e. s )
96	94, 95	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR+ )
97	96	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR )
98	90, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
99		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) )
100		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> u = z )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = z -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
105	104	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
106	102, 105	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) <-> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
107	106	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. s -> ( A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
108	95, 101, 107	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
109	89, 108	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
110	99, 109	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
111	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
112		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> 0 e. CC )
113	96	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR* )
114		elbl 22193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( f ` z ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
116	110, 115	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) )
117	116	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) )
118	98, 117	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < ( f ` z ) )
119		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
120	103	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( ( f ` u ) <_ r <-> ( f ` z ) <_ r ) )
121	120	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. s -> ( A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> ( f ` z ) <_ r ) )
122	95, 119, 121	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) <_ r )
123	91, 97, 92, 118, 122	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < r )
124	91, 92, 123	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) <_ r )
125	124	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( E. z e. s x e. z -> ( abs ` x ) <_ r ) )
126	82, 125	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X -> ( abs ` x ) <_ r ) )
127	126	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
128		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P T i^i Fin ) C_ Fin
129		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. ( ~P T i^i Fin ) )
130	128, 129	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. Fin )
131		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR+ )
132	131	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR )
133	132	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : s --> RR+ -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
134	133	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
135		fimaxre3 10970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. Fin /\ A. u e. s ( f ` u ) e. RR ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
136	130, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
137	127, 136	reximddv 3018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
138	137	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
139	138	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
140	139	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) -> ( ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
141	140	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
142	76, 141	mpd 15	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
143	11, 142	jca 554	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
144		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) = ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) )
145		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) ) = ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) )
146	1, 5, 144, 145	cnheiborlem 22753	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( r e. RR /\ A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
147	146	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> ( E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r -> T e. Comp ) )
148	147	imp 445	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) -> T e. Comp )
149	148	adantl 482	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
150	143, 149	impbida 877	1 |- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Hauscha 21112   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  cnllycmp  22755  cncmet  23119  ftalem3  24801