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Theorem txtube 21443
Description: The "tube lemma". If X is compact and there is an open set U containing the line X X. { A }, then there is a "tube" X X. u for some neighborhood u of A which is entirely contained within U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x |- X = U. R
txtube.y |- Y = U. S
txtube.r |- ( ph -> R e. Comp )
txtube.s |- ( ph -> S e. Top )
txtube.w |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
txtube.u |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
txtube.a |- ( ph -> A e. Y )
Assertion
Ref Expression
txtube |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Distinct variable groups:   u, A   u, R   u, S   u, Y   ph, u   u, U   u, X
Proof of Theorem txtube
Dummy variables t f v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
32adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. { A } ) C_ U )
4 id 22 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> x e. X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
6 snidg 4206 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> A e. { A } )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
8 opelxpi 5148 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ A e. { A } ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
94, 7, 8syl2anr 495 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
103, 9sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U )
11 txtube.w . . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
13 eltx 21371 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Top ) -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
141, 12, 13syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
1511, 14mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
1615adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
17 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( u X. v ) <-> <. x , A >. e. ( u X. v ) ) )
1817anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
19182rexbidv 3057 . . . . . . 7 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2019rspcv 3305 . . . . . 6 |- ( <. x , A >. e. U -> ( A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2110, 16, 20sylc 65 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
22 opelxp 5146 . . . . . . . . . 10 |- ( <. x , A >. e. ( u X. v ) <-> ( x e. u /\ A e. v ) )
2322anbi1i 731 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
24 anass 681 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2523, 24bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2625rexbii 3041 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
27 r19.42v 3092 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2826, 27bitri 264 . . . . . 6 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2928rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3021, 29sylib 208 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3130ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
32 txtube.x . . . 4 |- X = U. R
33 eleq2 2690 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( A e. v <-> A e. ( f ` u ) ) )
34 xpeq2 5129 . . . . . 6 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u X. v ) = ( u X. ( f ` u ) ) )
3534sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( u X. v ) C_ U <-> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
3633, 35anbi12d 747 . . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) )
3732, 36cmpcovf 21194 . . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
39 rint0 4517 . . . . . . . . . 10 |- ( ran f = (/) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. S
4241topopn 20711 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> Y e. S )
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. S )
4443ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> Y e. S )
4540, 44eqeltrd 2701 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
4612ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> S e. Top )
47 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t --> S )
48 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : t --> S -> ran f C_ S )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f C_ S )
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f C_ S )
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
52 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
53 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
5452, 53sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. Fin )
55 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> S -> f Fn t )
5647, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f Fn t )
57 dffn4 6121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
59 fofi 8252 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
6054, 58, 59syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
62 fiinopn 20706 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Top -> ( ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) -> |^| ran f e. S ) )
6362imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Top /\ ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) ) -> |^| ran f e. S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f e. S )
65 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| ran f e. S -> |^| ran f C_ U. S )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ U. S )
6766, 41syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ Y )
68 sseqin2 3817 . . . . . . . . . 10 |- ( |^| ran f C_ Y <-> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
6967, 68sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
7069, 64eqeltrd 2701 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
7145, 70pm2.61dane 2881 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
725ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. Y )
73 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
74 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A e. ( f ` u ) )
7574ralimi 2952 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
7673, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
77 eliin 4525 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Y -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7976, 78mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) )
80 fniinfv 6257 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8156, 80syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8279, 81eleqtrd 2703 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^| ran f )
8372, 82elind 3798 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. ( Y i^i |^| ran f ) )
84 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U. t )
85 uniiun 4573 . . . . . . . . . . 11 |- U. t = U_ u e. t u
8684, 85syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U_ u e. t u )
8786xpeq1d 5138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
88 xpiundir 5174 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) )
8987, 88syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
90 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9190ralimi 2952 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9273, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
93 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
9480adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
95 iinss2 4572 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9794, 96eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^| ran f C_ ( f ` u ) )
9893, 97syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) )
99 xpss2 5229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) )
100 sstr2 3610 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10198, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
102101ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> ( A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10356, 92, 102sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
104 iunss 4561 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U <-> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
105103, 104sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
10689, 105eqsstrd 3639 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
107 eleq2 2690 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( A e. u <-> A e. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
108 xpeq2 5129 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( X X. u ) = ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
109108sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( X X. u ) C_ U <-> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
110107, 109anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) <-> ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) )
111110rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( ( Y i^i |^| ran f ) e. S /\ ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
11271, 83, 106, 111syl12anc 1324 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
113112expr 643 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
114113exlimdv 1861 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
115114expimpd 629 . . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
116115rexlimdva 3031 . 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
11738, 116mpd 15 1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189   tX ctx 21363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-cmp 21190  df-tx 21365
This theorem is referenced by:  txcmplem1  21444  xkoinjcn  21490  cvmlift2lem12  31296
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