Theorem coflim 9083

Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
coflim	|- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( U. B = A <-> A. x e. A E. y e. B x C_ y ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem coflim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( U. B = A -> ( x e. U. B <-> x e. A ) )
2	1	biimprd 238	. . . 4 |- ( U. B = A -> ( x e. A -> x e. U. B ) )
3		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
4		limord 5784	. . . . . . . . 9 |- ( Lim A -> Ord A )
5		ssel2 3598	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ A /\ y e. B ) -> y e. A )
6		ordelon 5747	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> y e. On )
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim A /\ ( B C_ A /\ y e. B ) ) -> y e. On )
8	7	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( y e. B -> y e. On ) )
9		onelss 5766	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x C_ y ) )
10	8, 9	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( y e. B -> ( x e. y -> x C_ y ) ) )
11	10	reximdvai 3015	. . . . 5 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( E. y e. B x e. y -> E. y e. B x C_ y ) )
12	3, 11	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( x e. U. B -> E. y e. B x C_ y ) )
13	2, 12	syl9r 78	. . 3 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( U. B = A -> ( x e. A -> E. y e. B x C_ y ) ) )
14	13	ralrimdv 2968	. 2 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( U. B = A -> A. x e. A E. y e. B x C_ y ) )
15		uniss 4458	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> U. B C_ U. A )
16	15	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( Lim A /\ B C_ A /\ A. x e. A E. y e. B x C_ y ) -> U. B C_ U. A )
17		uniss2 4470	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B x C_ y -> U. A C_ U. B )
18	17	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( Lim A /\ B C_ A /\ A. x e. A E. y e. B x C_ y ) -> U. A C_ U. B )
19	16, 18	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ B C_ A /\ A. x e. A E. y e. B x C_ y ) -> U. B = U. A )
20		limuni 5785	. . . . 5 |- ( Lim A -> A = U. A )
21	20	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ B C_ A /\ A. x e. A E. y e. B x C_ y ) -> A = U. A )
22	19, 21	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( Lim A /\ B C_ A /\ A. x e. A E. y e. B x C_ y ) -> U. B = A )
23	22	3expia 1267	. 2 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( A. x e. A E. y e. B x C_ y -> U. B = A ) )
24	14, 23	impbid 202	1 |- ( ( Lim A /\ B C_ A ) -> ( U. B = A <-> A. x e. A E. y e. B x C_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728

This theorem is referenced by:  cflim3  9084  pwcfsdom  9405