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Theorem pwcfsdom 9405

Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 9391. Theorem 11.28 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pwcfsdom.1	har

**Assertion**
Ref	Expression
pwcfsdom

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem pwcfsdom Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onzsl 7046	. . . 4 $\/$ $\/$ $/\$
2	1	biimpi 206	. . 3 $\/$ $\/$ $/\$
3		cfom 9086	. . . . . . 7
4		aleph0 8889	. . . . . . . 8
5	4	fveq2i 6194	. . . . . . 7
6	3, 5, 4	3eqtr4i 2654	. . . . . 6
7		fveq2 6191	. . . . . . 7
8	7	fveq2d 6195	. . . . . 6
9	6, 8, 7	3eqtr4a 2682	. . . . 5
10		fvex 6201	. . . . . . . . 9
11	10	canth2 8113	. . . . . . . 8
12	10	pw2en 8067	. . . . . . . 8
13		sdomentr 8094	. . . . . . . 8 $/\$
14	11, 12, 13	mp2an 708	. . . . . . 7
15		alephon 8892	. . . . . . . . 9
16		alephgeom 8905	. . . . . . . . . 10
17		omelon 8543	. . . . . . . . . . . 12
18		2onn 7720	. . . . . . . . . . . 12
19		onelss 5766	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 18, 19	mp2 9	. . . . . . . . . . 11
21		sstr 3611	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22	20, 21	mpan 706	. . . . . . . . . 10
23	16, 22	sylbi 207	. . . . . . . . 9
24		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9
25	15, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . 8
26		mapdom1 8125	. . . . . . . 8
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7
28		sdomdomtr 8093	. . . . . . 7 $/\$
29	14, 27, 28	sylancr 695	. . . . . 6
30		oveq2 6658	. . . . . . 7
31	30	breq2d 4665	. . . . . 6
32	29, 31	syl5ibrcom 237	. . . . 5
33	9, 32	syl5 34	. . . 4
34		alephreg 9404	. . . . . . 7
35		fveq2 6191	. . . . . . . 8
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . 7
37	34, 36, 35	3eqtr4a 2682	. . . . . 6
38	37	rexlimivw 3029	. . . . 5
39	38, 32	syl5 34	. . . 4
40		cfsmo 9093	. . . . . 6 $/\$ $/\$
41		limelon 5788	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43		fnrnfv 6242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	dfiun2 4554	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	45, 47	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	42, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
52		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	52	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
54	51, 53	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
60		alephislim 8906	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	60	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15
62		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
64		coflim 9083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	61, 63, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
66	59, 65	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	49, 66	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	15	oneli 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70		harcard 8804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 har har
71		iscard 8801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 har har har $/\$ har har
72	71	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 har har har har
73	70, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 har har
74		domrefg 7990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	46, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76		elharval 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 har $/\$
77	76	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ har
78	75, 77	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 har
79		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 har har
80	79	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 har har har har
81	73, 78, 80	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 har
82	68, 69, 81	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ har
83		harcl 8466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 har
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 har har
86		pwcfsdom.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 har
87	85, 86	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ har har
88	83, 87	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 har
89	88	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 har
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ har
91	82, 90	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	91	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14
93		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	93, 94, 95	konigth 9391	. . . . . . . . . . . . . 14
97	92, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
98	97	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
99	67, 98	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
100	41, 99	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
101		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
102	68	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103		alephlim 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
104	103	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
105		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106		alephcard 8893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107	106	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108		cardsdomelir 8799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109	107, 108	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110		elharval 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 har $/\$
111	110	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 har
112		domnsym 8086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 har
114	113	con2i 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 har
115		alephon 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 har $/\$ har har
117	83, 115, 116	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 har har
118	114, 117	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 har
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 har
120		alephord2i 8900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
122		ontr2 5772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 har $/\$ har $/\$ har
123	83, 15, 122	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 har $/\$ har
124	119, 121, 123	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ har
125	124	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 har
126	125	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 har
127	105, 126	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 har
128	41, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ har
129	104, 128	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ har
130	102, 129	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ har
131	130	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ har
132	85	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 har har
133	86, 132	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 har
134	131, 133	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
135		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
136		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . 15
137	15, 135, 136	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
138	137	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13
139		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . . 14
140	93, 10	ixpconst 7918	. . . . . . . . . . . . . 14
141	139, 140	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . 13
142	134, 138, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
143		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12
144	101, 142, 143	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145	144	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
146		sdomdomtr 8093	. . . . . . . . . 10 $/\$
147	100, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	expcom 451	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
149	148	3adant2 1080	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	exlimiv 1858	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
151	15, 40, 150	mp2b 10	. . . . 5 $/\$
152	151	a1i 11	. . . 4 $/\$
153	33, 39, 152	3jaod 1392	. . 3 $\/$ $\/$ $/\$
154	2, 153	mpd 15	. 2
155		alephfnon 8888	. . . . 5
156		fndm 5990	. . . . 5
157	155, 156	ax-mp 5	. . . 4
158	157	eleq2i 2693	. . 3
159		ndmfv 6218	. . . 4
160		1n0 7575	. . . . . 6
161		1on 7567	. . . . . . . 8
162	161	elexi 3213	. . . . . . 7
163	162	0sdom 8091	. . . . . 6
164	160, 163	mpbir 221	. . . . 5
165		id 22	. . . . . 6
166		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
167		cf0 9073	. . . . . . . . 9
168	166, 167	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
169	165, 168	oveq12d 6668	. . . . . . 7
170		0ex 4790	. . . . . . . 8
171		map0e 7895	. . . . . . . 8
172	170, 171	ax-mp 5	. . . . . . 7
173	169, 172	syl6eq 2672	. . . . . 6
174	165, 173	breq12d 4666	. . . . 5
175	164, 174	mpbiri 248	. . . 4
176	159, 175	syl 17	. . 3
177	158, 176	sylnbir 321	. 2
178	154, 177	pm2.61i 176	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

cuni 4436

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

con0 5723

wlim 5724

csuc 5725

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

wsmo 7442

c1o 7553

c2o 7554

cmap 7857

cixp 7908

cen 7952

cdom 7953

csdm 7954 harchar 8461

ccrd 8761

cale 8762

ccf 8763

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-smo 7443 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-oi 8415 df-har 8463 df-card 8765 df-aleph 8766 df-cf 8767 df-acn 8768 df-ac 8939

This theorem is referenced by: cfpwsdom 9406 tskcard 9603 bj-pwcfsdom 33022

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