Theorem cusgrfilem3 26353

Description: Lemma 3 for cusgrfi 26354. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	|- V = (Vtx ` G )
cusgrfi.p	|- P = { x e. ~P V | E. a e. V ( a =/= N /\ x = { a , N } ) }
cusgrfi.f	|- F = ( x e. ( V \ { N } ) |-> { x , N } )

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem3	|- ( N e. V -> ( V e. Fin <-> P e. Fin ) )

Distinct variable groups:   x, G   N, a, x   V, a, x   x, P

Allowed substitution hints:   P( a)   F( x, a)   G( a)

Proof of Theorem cusgrfilem3

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 8192	. . 3 |- ( V e. Fin -> ( V \ { N } ) e. Fin )
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ -. V e. Fin ) -> -. V e. Fin )
3		snfi 8038	. . . . . 6 |- { N } e. Fin
4		difinf 8230	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. Fin /\ { N } e. Fin ) -> -. ( V \ { N } ) e. Fin )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( N e. V /\ -. V e. Fin ) -> -. ( V \ { N } ) e. Fin )
6	5	ex 450	. . . 4 |- ( N e. V -> ( -. V e. Fin -> -. ( V \ { N } ) e. Fin ) )
7	6	con4d 114	. . 3 |- ( N e. V -> ( ( V \ { N } ) e. Fin -> V e. Fin ) )
8	1, 7	impbid2 216	. 2 |- ( N e. V -> ( V e. Fin <-> ( V \ { N } ) e. Fin ) )
9		cusgrfi.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. ( V \ { N } ) |-> { x , N } )
10		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 |- V = (Vtx ` G )
11		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` G ) e. _V
12	10, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- V e. _V
13		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V \ { N } ) e. _V )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( V \ { N } ) e. _V
15		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( ( V \ { N } ) e. _V -> ( x e. ( V \ { N } ) |-> { x , N } ) e. _V )
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( N e. V -> ( x e. ( V \ { N } ) |-> { x , N } ) e. _V )
17	9, 16	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( N e. V -> F e. _V )
18		cusgrfi.p	. . . . . 6 |- P = { x e. ~P V | E. a e. V ( a =/= N /\ x = { a , N } ) }
19	10, 18, 9	cusgrfilem2 26352	. . . . 5 |- ( N e. V -> F : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P )
20		f1oeq1 6127	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P <-> F : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P ) )
21	20	spcegv 3294	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( F : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P -> E. f f : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P ) )
22	17, 19, 21	sylc 65	. . . 4 |- ( N e. V -> E. f f : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P )
23		bren 7964	. . . 4 |- ( ( V \ { N } ) ~~ P <-> E. f f : ( V \ { N } ) -1-1-onto-> P )
24	22, 23	sylibr 224	. . 3 |- ( N e. V -> ( V \ { N } ) ~~ P )
25		enfi 8176	. . 3 |- ( ( V \ { N } ) ~~ P -> ( ( V \ { N } ) e. Fin <-> P e. Fin ) )
26	24, 25	syl 17	. 2 |- ( N e. V -> ( ( V \ { N } ) e. Fin <-> P e. Fin ) )
27	8, 26	bitrd 268	1 |- ( N e. V -> ( V e. Fin <-> P e. Fin ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   Fincfn 7955  Vtxcvtx 25874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  cusgrfi  26354