Theorem diffi 8192

Description: If A is finite, ( A \ B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	|- ( A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3737	. 2 |- ( A \ B ) C_ A
2		ssfi 8180	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A \ B ) C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )
3	1, 2	mpan2 707	1 |- ( A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  dif1en  8193  unfi  8227  dif1card  8833  hashun2  13172  hashun3  13173  hashssdif  13200  hashdifpr  13203  hashfun  13224  hashf1lem2  13240  fsumdifsnconst  14523  hash2iun1dif1  14556  incexc  14569  fprodeq0g  14725  fprodfvdvdsd  15058  ramub1lem1  15730  ramub1lem2  15731  prmdvdsprmo  15746  psgnprfval  17941  sylow2alem2  18033  sylow2a  18034  gsummgp0  18608  psgnfix1  19944  psgndiflemB  19946  psgndif  19948  zrhcopsgndif  19949  dmatmul  20303  submaval  20387  1marepvsma1  20389  gsummatr01lem3  20463  gsummatr01  20465  smadiadetlem3  20474  smadiadet  20476  cramerimplem1  20489  cmpcld  21205  alexsubALTlem3  21853  cldsubg  21914  xrge0gsumle  22636  amgm  24717  rpvmasum2  25201  numedglnl  26039  cusgrfilem3  26353  finsumvtxdg2ssteplem4  26444  finsumvtxdg2sstep  26445  fprodeq02  29569  gsummptres  29784  indsumin  30084  gsumesum  30121  ballotlemfp1  30553  ballotlemgun  30586  hgt750lemd  30726  hgt750lemb  30734  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem3  31164  topdifinfindis  33194  matunitlindflem1  33405  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem30  33439  elrfi  37257  eldioph2lem1  37323  eldioph2lem2  37324  pellexlem5  37397  fsumnncl  39803  fsumsplit1  39804  fprod0  39828  dvmptfprodlem  40159  stoweidlem44  40261  stoweidlem57  40274  fourierdlem42  40366  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  etransclem25  40476  etransclem35  40486  hspmbllem2  40841  fsummsndifre  41342  fsummmodsndifre  41344  mgpsumunsn  42140  mgpsumz  42141  mgpsumn  42142