Theorem cvratlem 34707

Description: Lemma for cvrat 34708. (atcvatlem 29244 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat.b	|- B = ( Base ` K )
cvrat.s	|- .< = ( lt ` K )
cvrat.j	|- .\/ = ( join ` K )
cvrat.z	|- .0. = ( 0. ` K )
cvrat.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvratlem	|- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ ( X =/= .0. /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) )

Proof of Theorem cvratlem

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 34647	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. AtLat )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> K e. AtLat )
3		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> X e. B )
4		cvrat.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		cvrat.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0. ` K )
7		cvrat.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
8	4, 5, 6, 7	atlex 34603	. . . . 5 |- ( ( K e. AtLat /\ X e. B /\ X =/= .0. ) -> E. r e. A r ( le ` K ) X )
9	8	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( K e. AtLat /\ X e. B ) -> ( X =/= .0. -> E. r e. A r ( le ` K ) X ) )
10	2, 3, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( X =/= .0. -> E. r e. A r ( le ` K ) X ) )
11	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. AtLat )
12		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P e. A )
13		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> r e. A )
14	5, 7	atcmp 34598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r <-> P = r ) )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r <-> P = r ) )
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P = r -> ( P ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
17	16	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P = r -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) )
18	15, 17	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P ( le ` K ) r -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) ) )
19	18	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( P ( le ` K ) r -> P ( le ` K ) X ) ) )
20		con3 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ( le ` K ) r -> P ( le ` K ) X ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. P ( le ` K ) r ) )
21	19, 20	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. P ( le ` K ) r ) ) )
22	21	impd 447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) -> -. P ( le ` K ) r ) )
23		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. HL )
24	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. A -> r e. B )
25	24	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> r e. B )
26		cvrat.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .\/ = ( join ` K )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
28	4, 5, 26, 27, 7	cvr1 34696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ r e. B /\ P e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) r <-> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
29	23, 25, 12, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) r <-> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
30	22, 29	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) -> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> r ( <o ` K ) ( r .\/ P ) )
32		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. Lat )
34	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. A -> P e. B )
35	12, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P e. B )
36	4, 26	latjcom 17059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ r e. B ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
37	33, 35, 25, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> ( P .\/ r ) = ( r .\/ P ) )
39	31, 38	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) )
40	39	adantrrl 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) )
41	5, 26, 7	hlatlej1 34661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
42	23, 12, 13, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
44	5, 7	atcmp 34598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. AtLat /\ r e. A /\ P e. A ) -> ( r ( le ` K ) P <-> r = P ) )
45	11, 13, 12, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) P <-> r = P ) )
46		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = P -> ( r ( le ` K ) X <-> P ( le ` K ) X ) )
47	46	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = P -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) )
48	45, 47	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) P -> ( r ( le ` K ) X -> P ( le ` K ) X ) ) )
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( r ( le ` K ) P -> P ( le ` K ) X ) ) )
50		con3 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r ( le ` K ) P -> P ( le ` K ) X ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. r ( le ` K ) P ) )
51	49, 50	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( -. P ( le ` K ) X -> -. r ( le ` K ) P ) ) )
52	51	imp32 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ -. P ( le ` K ) X ) ) -> -. r ( le ` K ) P )
53	52	adantrrl 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> -. r ( le ` K ) P )
54		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> r ( le ` K ) X )
55		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> X e. B )
56		simp23 1096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> Q e. A )
57	4, 7	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. A -> Q e. B )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> Q e. B )
59	4, 26	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Q e. B ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
60	33, 35, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
61	23, 55, 60	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) )
62		cvrat.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .< = ( lt ` K )
63	5, 62	pltle 16961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) /\ X .< ( P .\/ Q ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
65	61, 64	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ X .< ( P .\/ Q ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
66	65	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
67		hlpos 34652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> K e. Poset )
69	4, 5	postr 16953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ X e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
70	68, 25, 55, 60, 69	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
72	54, 66, 71	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
73	72	adantrrr 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
74	4, 5, 26, 7	hlexch1 34668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) /\ -. r ( le ` K ) P ) -> ( r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
75	74	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) ) -> ( -. r ( le ` K ) P -> ( r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) ) )
76	75	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ Q e. A /\ P e. B ) ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
77	23, 13, 56, 35, 76	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( -. r ( le ` K ) P /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
79	53, 73, 78	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
80	4, 26	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ r e. B ) -> ( P .\/ r ) e. B )
81	33, 35, 25, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( P .\/ r ) e. B )
82	4, 5, 26	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ Q e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
83	33, 35, 58, 81, 82	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ Q ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) <-> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) ) )
85	43, 79, 84	mpbi2and 956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) )
86	5, 26, 7	hlatlej1 34661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
87	23, 12, 56, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
89	4, 5, 26	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ r e. B /\ ( P .\/ Q ) e. B ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
90	33, 35, 25, 60, 89	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P ( le ` K ) ( P .\/ Q ) /\ r ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
92	88, 73, 91	mpbi2and 956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) )
93	33, 60, 81	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) )
95	4, 5	latasymb 17054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ ( P .\/ r ) e. B ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ( le ` K ) ( P .\/ r ) /\ ( P .\/ r ) ( le ` K ) ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) ) )
97	85, 92, 96	mpbi2and 956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) )
98		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> ( X .< ( P .\/ Q ) <-> X .< ( P .\/ r ) ) )
99	98	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
101	100	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) = ( P .\/ r ) -> X .< ( P .\/ r ) ) )
102	97, 101	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> X .< ( P .\/ r ) )
103	4, 5, 62, 27	cvrnbtwn3 34563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) /\ r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) <-> r = X ) )
104	103	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) /\ r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
105	104	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Poset /\ ( r e. B /\ ( P .\/ r ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) ) )
106	68, 25, 81, 55, 105	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( ( r ( le ` K ) X /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) ) )
107	106	exp4a 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ r ) -> r = X ) ) ) )
108	107	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) -> ( X .< ( P .\/ r ) -> r = X ) ) ) )
109	108	imp4b 613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ r ( le ` K ) X ) -> ( ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
110	109	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> ( ( r ( <o ` K ) ( P .\/ r ) /\ X .< ( P .\/ r ) ) -> r = X ) )
111	40, 102, 110	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r = X )
112		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> r e. A )
113	111, 112	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) /\ ( r ( le ` K ) X /\ ( X .< ( P .\/ Q ) /\ -. P ( le ` K ) X ) ) ) -> X e. A )
114	113	exp45 642	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
115	114	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ r e. A ) -> ( r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
116	115	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( E. r e. A r ( le ` K ) X -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
117	10, 116	syld 47	. 2 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) -> ( X =/= .0. -> ( X .< ( P .\/ Q ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) ) ) )
118	117	imp32 449	1 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ P e. A /\ Q e. A ) ) /\ ( X =/= .0. /\ X .< ( P .\/ Q ) ) ) -> ( -. P ( le ` K ) X -> X e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   ltcplt 16941   joincjn 16944   0.cp0 17037   Latclat 17045   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  cvrat  34708