Theorem dfac14lem 21420

Description: Lemma for dfac14 21421. By equipping S u. { P } for some P e/ S with the particular point topology, we can show that P is in the closure of S; hence the sequence P ( x ) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 21419 to extract an element of the closure of X_ k e. I S. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfac14lem.i	|- ( ph -> I e. V )
dfac14lem.s	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. W )
dfac14lem.0	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
dfac14lem.p	|- P = ~P U. S
dfac14lem.r	|- R = { y e. ~P ( S u. { P } ) | ( P e. y -> y = ( S u. { P } ) ) }
dfac14lem.j	|- J = ( Xt_ ` ( x e. I |-> R ) )
dfac14lem.c	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ x e. I S ) = X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac14lem	|- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Distinct variable groups:   x, I   y, P   ph, x   y, S

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( x)   R( x, y)   S( x)   I( y)   J( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem dfac14lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( P e. y <-> P e. z ) )
2		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = ( S u. { P } ) <-> z = ( S u. { P } ) ) )
3	1, 2	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( P e. y -> y = ( S u. { P } ) ) <-> ( P e. z -> z = ( S u. { P } ) ) ) )
4		dfac14lem.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { y e. ~P ( S u. { P } ) | ( P e. y -> y = ( S u. { P } ) ) }
5	3, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( z e. R <-> ( z e. ~P ( S u. { P } ) /\ ( P e. z -> z = ( S u. { P } ) ) ) )
6		dfac14lem.0	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ z e. ~P ( S u. { P } ) ) -> S =/= (/) )
8		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( S u. { P } ) -> ( z i^i S ) = ( ( S u. { P } ) i^i S ) )
9		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S C_ ( S u. { P } )
10		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ ( S u. { P } ) <-> ( ( S u. { P } ) i^i S ) = S )
11	9, 10	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S u. { P } ) i^i S ) = S
12	8, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( S u. { P } ) -> ( z i^i S ) = S )
13	12	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( S u. { P } ) -> ( ( z i^i S ) =/= (/) <-> S =/= (/) ) )
14	7, 13	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ z e. ~P ( S u. { P } ) ) -> ( z = ( S u. { P } ) -> ( z i^i S ) =/= (/) ) )
15	14	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ z e. ~P ( S u. { P } ) ) -> ( ( P e. z -> z = ( S u. { P } ) ) -> ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
16	15	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( z e. ~P ( S u. { P } ) /\ ( P e. z -> z = ( S u. { P } ) ) ) -> ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
17	5, 16	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( z e. R -> ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
18	17	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A. z e. R ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) )
19		dfac14lem.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. W )
20		snex 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- { P } e. _V
21		unexg 6959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. W /\ { P } e. _V ) -> ( S u. { P } ) e. _V )
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( S u. { P } ) e. _V )
23		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12 |- { P } C_ ( S u. { P } )
24		dfac14lem.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ~P U. S
25		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
26		pwexg 4850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. S e. _V -> ~P U. S e. _V )
27	19, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ~P U. S e. _V )
28	24, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> P e. _V )
29		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. _V -> P e. { P } )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> P e. { P } )
31	23, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> P e. ( S u. { P } ) )
32		epttop 20813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S u. { P } ) e. _V /\ P e. ( S u. { P } ) ) -> { y e. ~P ( S u. { P } ) | ( P e. y -> y = ( S u. { P } ) ) } e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) )
33	22, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { y e. ~P ( S u. { P } ) | ( P e. y -> y = ( S u. { P } ) ) } e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) )
34	4, 33	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) )
35		topontop 20718	. . . . . . . . 9 |- ( R e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) -> R e. Top )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Top )
37		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) -> ( S u. { P } ) = U. R )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( S u. { P } ) = U. R )
39	9, 38	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S C_ U. R )
40	31, 38	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> P e. U. R )
41		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. R = U. R
42	41	elcls 20877	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S C_ U. R /\ P e. U. R ) -> ( P e. ( ( cls ` R ) ` S ) <-> A. z e. R ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
43	36, 39, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( P e. ( ( cls ` R ) ` S ) <-> A. z e. R ( P e. z -> ( z i^i S ) =/= (/) ) ) )
44	18, 43	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> P e. ( ( cls ` R ) ` S ) )
45	44	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I P e. ( ( cls ` R ) ` S ) )
46		dfac14lem.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
47		mptelixpg 7945	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> P ) e. X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) <-> A. x e. I P e. ( ( cls ` R ) ` S ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> P ) e. X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) <-> A. x e. I P e. ( ( cls ` R ) ` S ) ) )
49	45, 48	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> P ) e. X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) )
50		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( x e. I |-> P ) e. X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) -> X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) =/= (/) )
51	49, 50	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) =/= (/) )
52		dfac14lem.c	. . 3 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ x e. I S ) = X_ x e. I ( ( cls ` R ) ` S ) )
53	34	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) )
54		dfac14lem.j	. . . . . 6 |- J = ( Xt_ ` ( x e. I |-> R ) )
55	54	pttopon 21399	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A. x e. I R e. (TopOn ` ( S u. { P } ) ) ) -> J e. (TopOn ` X_ x e. I ( S u. { P } ) ) )
56	46, 53, 55	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X_ x e. I ( S u. { P } ) ) )
57		topontop 20718	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X_ x e. I ( S u. { P } ) ) -> J e. Top )
58		cls0 20884	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
59	56, 57, 58	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
60	51, 52, 59	3netr4d 2871	. 2 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` X_ x e. I S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
61		fveq2 6191	. . 3 |- ( X_ x e. I S = (/) -> ( ( cls ` J ) ` X_ x e. I S ) = ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
62	61	necon3i 2826	. 2 |- ( ( ( cls ` J ) ` X_ x e. I S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) -> X_ x e. I S =/= (/) )
63	60, 62	syl 17	1 |- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  dfac14  21421