Theorem dfac14 21421

Description: Theorem ptcls 21419 is an equivalent of the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac14	|- (CHOICE <-> A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) )

Distinct variable group:   f, k, s

Proof of Theorem dfac14

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( f ` k ) = ( f ` x ) )
2	1	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> U. ( f ` k ) = U. ( f ` x ) )
3	2	pweqd 4163	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ~P U. ( f ` k ) = ~P U. ( f ` x ) )
4	3	cbvixpv 7926	. . . . . . 7 |- X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) = X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x )
5	4	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) <-> s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) )
6		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> f : dom f --> Top )
7	6	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> f = ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> ( Xt_ ` f ) = ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) = ( cls ` ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) ) ) )
10	9	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = ( ( cls ` ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) ) = ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) )
12		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
13	12	dmex 7099	. . . . . . . . 9 |- dom f e. _V
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> dom f e. _V )
15	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) /\ k e. dom f ) -> ( f ` k ) e. Top )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( f ` k ) = U. ( f ` k )
17	16	toptopon 20722	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` k ) e. Top <-> ( f ` k ) e. (TopOn ` U. ( f ` k ) ) )
18	15, 17	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) /\ k e. dom f ) -> ( f ` k ) e. (TopOn ` U. ( f ` k ) ) )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) )
20	19, 5	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
22	21	elixp 7915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) <-> ( s Fn dom f /\ A. k e. dom f ( s ` k ) e. ~P U. ( f ` k ) ) )
23	22	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) -> A. k e. dom f ( s ` k ) e. ~P U. ( f ` k ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> A. k e. dom f ( s ` k ) e. ~P U. ( f ` k ) )
25	24	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) /\ k e. dom f ) -> ( s ` k ) e. ~P U. ( f ` k ) )
26	25	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) /\ k e. dom f ) -> ( s ` k ) C_ U. ( f ` k ) )
27		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( s ` k ) e. _V
28	13, 27	iunex 7147	. . . . . . . . 9 |- U_ k e. dom f ( s ` k ) e. _V
29		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> CHOICE )
30		acacni 8962	. . . . . . . . . 10 |- ( (CHOICE /\ dom f e. _V ) -> AC dom f = _V )
31	29, 13, 30	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> AC dom f = _V )
32	28, 31	syl5eleqr 2708	. . . . . . . 8 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> U_ k e. dom f ( s ` k ) e. AC dom f )
33	11, 14, 18, 26, 32	ptclsg 21418	. . . . . . 7 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( k e. dom f |-> ( f ` k ) ) ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) )
34	10, 33	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ x e. dom f ~P U. ( f ` x ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) )
35	5, 34	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) /\ s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) )
36	35	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Top ) -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) )
37	36	ex 450	. . 3 |- (CHOICE -> ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) )
38	37	alrimiv 1855	. 2 |- (CHOICE -> A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) )
39		vex 3203	. . . . . . . 8 |- g e. _V
40	39	dmex 7099	. . . . . . 7 |- dom g e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> dom g e. _V )
42		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( g ` x ) e. _V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) e. _V )
44		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> (/) e/ ran g )
45		df-nel 2898	. . . . . . . 8 |- ( (/) e/ ran g <-> -. (/) e. ran g )
46	44, 45	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> -. (/) e. ran g )
47		funforn 6122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun g <-> g : dom g -onto-> ran g )
48		fof 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : dom g -onto-> ran g -> g : dom g --> ran g )
49	47, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun g -> g : dom g --> ran g )
50	49	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> g : dom g --> ran g )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) e. ran g )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` x ) = (/) -> ( ( g ` x ) e. ran g <-> (/) e. ran g ) )
53	51, 52	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> ( ( g ` x ) = (/) -> (/) e. ran g ) )
54	53	necon3bd 2808	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> ( -. (/) e. ran g -> ( g ` x ) =/= (/) ) )
55	46, 54	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) =/= (/) )
56		eqid 2622	. . . . . 6 |- ~P U. ( g ` x ) = ~P U. ( g ` x )
57		eqid 2622	. . . . . 6 |- { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } = { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) }
58		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) = ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) )
59		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> Fun g )
60		funfn 5918	. . . . . . . . 9 |- ( Fun g <-> g Fn dom g )
61	59, 60	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> g Fn dom g )
62		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- ( g ` k ) C_ ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } )
63		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( g ` k ) e. _V
64	63	elpw 4164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` k ) e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) <-> ( g ` k ) C_ ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
65	62, 64	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- ( g ` k ) e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } )
66	65	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. k e. dom g ( g ` k ) e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } )
67	39	elixp 7915	. . . . . . . 8 |- ( g e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) <-> ( g Fn dom g /\ A. k e. dom g ( g ` k ) e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) )
68	61, 66, 67	sylanblrc 697	. . . . . . 7 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> g e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
69		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) )
70		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13 |- { ~P U. ( g ` x ) } e. _V
71	42, 70	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) e. _V
72		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- { ~P U. ( g ` x ) } C_ ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } )
73	42	uniex 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( g ` x ) e. _V
74	73	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P U. ( g ` x ) e. _V
75	74	snid 4208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P U. ( g ` x ) e. { ~P U. ( g ` x ) }
76	72, 75	sselii 3600	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P U. ( g ` x ) e. ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } )
77		epttop 20813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) e. _V /\ ~P U. ( g ` x ) e. ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) -> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } e. (TopOn ` ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) )
78	71, 76, 77	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } e. (TopOn ` ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) )
79	78	topontopi 20720	. . . . . . . . . 10 |- { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } e. Top
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) /\ x e. dom g ) -> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } e. Top )
81		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } )
82	80, 81	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) : dom g --> Top )
83	40	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) e. _V
84		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) )
85		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> dom f = dom ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) )
86	71	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) e. _V
87	86	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } e. _V
88	87, 81	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) = dom g
89	85, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> dom f = dom g )
90	84, 89	feq12d 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( f : dom f --> Top <-> ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) : dom g --> Top ) )
91	89	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) = X_ k e. dom g ~P U. ( f ` k ) )
92		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( f ` k ) = ( ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` k ) )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = k -> ( g ` x ) = ( g ` k ) )
94	93	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = k -> U. ( g ` x ) = U. ( g ` k ) )
95	94	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = k -> ~P U. ( g ` x ) = ~P U. ( g ` k ) )
96	95	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = k -> { ~P U. ( g ` x ) } = { ~P U. ( g ` k ) } )
97	93, 96	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = k -> ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
98	97	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) = ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
99	95	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = k -> ( ~P U. ( g ` x ) e. y <-> ~P U. ( g ` k ) e. y ) )
100	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = k -> ( y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) <-> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) )
101	99, 100	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) <-> ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) ) )
102	98, 101	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } = { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } )
103		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { ~P U. ( g ` k ) } e. _V
104	63, 103	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) e. _V
105	104	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) e. _V
106	105	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } e. _V
107	102, 81, 106	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. dom g -> ( ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` k ) = { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } )
108	92, 107	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> ( f ` k ) = { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } )
109	108	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> U. ( f ` k ) = U. { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } )
110		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { ~P U. ( g ` k ) } C_ ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } )
111	63	uniex 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. ( g ` k ) e. _V
112	111	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ~P U. ( g ` k ) e. _V
113	112	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ~P U. ( g ` k ) e. { ~P U. ( g ` k ) }
114	110, 113	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ~P U. ( g ` k ) e. ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } )
115		epttop 20813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) e. _V /\ ~P U. ( g ` k ) e. ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) -> { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } e. (TopOn ` ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) )
116	104, 114, 115	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } e. (TopOn ` ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
117	116	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) = U. { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) }
118	109, 117	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> U. ( f ` k ) = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
119	118	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> ~P U. ( f ` k ) = ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
120	119	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom g ~P U. ( f ` k ) = X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
121	91, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) = X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) )
122		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( Xt_ ` f ) = ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) = ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) )
124	89	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom f ( s ` k ) = X_ k e. dom g ( s ` k ) )
125	123, 124	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) )
126	89	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) )
127	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> ( cls ` ( f ` k ) ) = ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) )
128	127	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) /\ k e. dom g ) -> ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) = ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) )
129	128	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom g ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) )
130	126, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) )
131	125, 130	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) <-> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) ) )
132	121, 131	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) <-> A. s e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) ) )
133	90, 132	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) -> ( ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) <-> ( ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) : dom g --> Top -> A. s e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) ) ) )
134	83, 133	spcv 3299	. . . . . . . 8 |- ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) -> ( ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) : dom g --> Top -> A. s e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) ) )
135	69, 82, 134	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> A. s e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) )
136		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = g -> ( s ` k ) = ( g ` k ) )
137	136	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = g -> X_ k e. dom g ( s ` k ) = X_ k e. dom g ( g ` k ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( g ` k ) = ( g ` x ) )
139	138	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . 11 |- X_ k e. dom g ( g ` k ) = X_ x e. dom g ( g ` x )
140	137, 139	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( s = g -> X_ k e. dom g ( s ` k ) = X_ x e. dom g ( g ` x ) )
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( s = g -> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ x e. dom g ( g ` x ) ) )
142	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = g -> ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) = ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( g ` k ) ) )
143	142	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . 10 |- ( s = g -> X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( g ` k ) ) )
144	138	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> U. ( g ` k ) = U. ( g ` x ) )
145	144	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = x -> ~P U. ( g ` k ) = ~P U. ( g ` x ) )
146	145	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = x -> { ~P U. ( g ` k ) } = { ~P U. ( g ` x ) } )
147	138, 146	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) )
148	147	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) = ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) )
149	145	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( ~P U. ( g ` k ) e. y <-> ~P U. ( g ` x ) e. y ) )
150	147	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) <-> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) )
151	149, 150	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) <-> ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) ) )
152	148, 151	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } = { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } )
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) = ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) )
154	153, 138	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( g ` k ) ) = ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) ) )
155	154	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . 10 |- X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( g ` k ) ) = X_ x e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) )
156	143, 155	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( s = g -> X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) = X_ x e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) ) )
157	141, 156	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( s = g -> ( ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) <-> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ x e. dom g ( g ` x ) ) = X_ x e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) ) ) )
158	157	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( g e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) -> ( A. s e. X_ k e. dom g ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ k e. dom g ( s ` k ) ) = X_ k e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) | ( ~P U. ( g ` k ) e. y -> y = ( ( g ` k ) u. { ~P U. ( g ` k ) } ) ) } ) ` ( s ` k ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ x e. dom g ( g ` x ) ) = X_ x e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) ) ) )
159	68, 135, 158	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> ( ( cls ` ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ) ) ` X_ x e. dom g ( g ` x ) ) = X_ x e. dom g ( ( cls ` { y e. ~P ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) | ( ~P U. ( g ` x ) e. y -> y = ( ( g ` x ) u. { ~P U. ( g ` x ) } ) ) } ) ` ( g ` x ) ) )
160	41, 43, 55, 56, 57, 58, 159	dfac14lem 21420	. . . . 5 |- ( ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) /\ ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) )
161	160	ex 450	. . . 4 |- ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) -> ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
162	161	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) -> A. g ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
163		dfac9 8958	. . 3 |- (CHOICE <-> A. g ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
164	162, 163	sylibr 224	. 2 |- ( A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) -> CHOICE )
165	38, 164	impbii 199	1 |- (CHOICE <-> A. f ( f : dom f --> Top -> A. s e. X_ k e. dom f ~P U. ( f ` k ) ( ( cls ` ( Xt_ ` f ) ) ` X_ k e. dom f ( s ` k ) ) = X_ k e. dom f ( ( cls ` ( f ` k ) ) ` ( s ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   X_cixp 7908  AC wacn 8764  CHOICEwac 8938   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by: (None)