Theorem dfrtrcl5 37936

Description: Definition of reflexive-transitive closure as a standard closure. (Contributed by RP, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl5	|- t* = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfrtrcl5

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rtrcl 13727	. 2 |- t* = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
2		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) <-> ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) )
3	2	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) <-> ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) )
4	3	abbii 2739	. . . . 5 |- { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } = { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
5	4	inteqi 4479	. . . 4 |- |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
6	5	mpteq2i 4741	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
7		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	rtrclexi 37928	. . . . 5 |- |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } e. _V
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } e. _V )
10		dmexg 7097	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> dom x e. _V )
11		rnexg 7098	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ran x e. _V )
12		unexg 6959	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom x e. _V /\ ran x e. _V ) -> ( dom x u. ran x ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( dom x u. ran x ) e. _V )
14		resiexg 7102	. . . . . . . 8 |- ( ( dom x u. ran x ) e. _V -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V
16	7, 15	unex 6956	. . . . . 6 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V
17	16	trclexi 37927	. . . . 5 |- |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } e. _V
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } e. _V )
19		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) -> ( z o. z ) C_ z )
20	19	cotrintab 37921	. . . . 5 |- ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
22	7	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom x e. _V
23	7	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran x e. _V
24	12	resiexd 6480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom x e. _V /\ ran x e. _V ) -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V )
25	22, 23, 24	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V
26	7, 25	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V
27		dmtrcl 37934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V -> dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
29		dmun 5331	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
30		dmresi 5457	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
31	30	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom x u. dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ( dom x u. ran x ) )
32		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- dom x C_ ( dom x u. ran x )
33		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom x C_ ( dom x u. ran x ) <-> ( dom x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x ) )
34	32, 33	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
35	29, 31, 34	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ran x )
36	28, 35	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( dom x u. ran x )
37		rntrcl 37935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V -> ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) )
38	26, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
39		rnun 5541	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( ran x u. ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
40		rnresi 5479	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
41	40	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran x u. ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( ran x u. ( dom x u. ran x ) )
42		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12 |- ran x C_ ( dom x u. ran x )
43		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran x C_ ( dom x u. ran x ) <-> ( ran x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x ) )
44	42, 43	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
45	39, 41, 44	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ran x )
46	38, 45	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( dom x u. ran x )
47	36, 46	uneq12i 3765	. . . . . . . 8 |- ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( ( dom x u. ran x ) u. ( dom x u. ran x ) )
48		unidm 3756	. . . . . . . 8 |- ( ( dom x u. ran x ) u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
49	47, 48	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( dom x u. ran x )
50	49	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) = ( _I |` ( dom x u. ran x ) )
51		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
52		ssmin 4496	. . . . . . 7 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
53	51, 52	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
54	50, 53	eqsstri 3635	. . . . 5 |- ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
55	54	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
56		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) -> ( y o. y ) C_ y )
57	56	cotrintab 37921	. . . . 5 |- ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
58	57	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
59		id 22	. . . . . 6 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
60	59, 59	coeq12d 5286	. . . . 5 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( y o. y ) = ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
61	60, 59	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( y o. y ) C_ y <-> ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
62		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> dom y = dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
63		rneq 5351	. . . . . . 7 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ran y = ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
64	62, 63	uneq12d 3768	. . . . . 6 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( dom y u. ran y ) = ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
65	64	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) = ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) )
66	65, 59	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y <-> ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
67		id 22	. . . . . 6 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
68	67, 67	coeq12d 5286	. . . . 5 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> ( z o. z ) = ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) )
69	68, 67	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> ( ( z o. z ) C_ z <-> ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) )
70	9, 18, 21, 55, 58, 61, 66, 69	mptrcllem 37920	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
71		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) /\ ( z o. z ) C_ z ) )
72		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) <-> ( x C_ z /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z ) )
73		unss 3787	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ z /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z ) <-> ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z )
74	72, 73	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) <-> ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z )
75	74	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) )
76	71, 75	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) )
77	76	abbii 2739	. . . . 5 |- { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
78	77	inteqi 4479	. . . 4 |- |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
79	78	mpteq2i 4741	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
80	6, 70, 79	3eqtri 2648	. 2 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
81	1, 80	eqtr4i 2647	1 |- t* = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   t*crtcl 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-rtrcl 13727

This theorem is referenced by: (None)