Theorem dis2ndc 21263

Description: A discrete space is second-countable iff it is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis2ndc	|- ( X ~<_ om <-> ~P X e. 2ndc )

Proof of Theorem dis2ndc

Dummy variables w b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7961	. . 3 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 5158	. 2 |- ( X ~<_ om -> X e. _V )
3		pwexr 6974	. 2 |- ( ~P X e. 2ndc -> X e. _V )
4		elex 3212	. . . . 5 |- ( X e. _V -> X e. _V )
5		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
6	5	2a1i 12	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( x e. X -> { x } e. _V ) )
7		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8	7	sneqr 4371	. . . . . . . . 9 |- ( { x } = { y } -> x = y )
9		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
10	8, 9	impbii 199	. . . . . . . 8 |- ( { x } = { y } <-> x = y )
11	10	2a1i 12	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( { x } = { y } <-> x = y ) ) )
12	6, 11	dom2lem 7995	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( x e. X |-> { x } ) : X -1-1-> _V )
13		f1f1orn 6148	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> { x } ) : X -1-1-> _V -> ( x e. X |-> { x } ) : X -1-1-onto-> ran ( x e. X |-> { x } ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( X e. _V -> ( x e. X |-> { x } ) : X -1-1-onto-> ran ( x e. X |-> { x } ) )
15		f1oeng 7974	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ ( x e. X |-> { x } ) : X -1-1-onto-> ran ( x e. X |-> { x } ) ) -> X ~~ ran ( x e. X |-> { x } ) )
16	4, 14, 15	syl2anc 693	. . . 4 |- ( X e. _V -> X ~~ ran ( x e. X |-> { x } ) )
17		domen1 8102	. . . 4 |- ( X ~~ ran ( x e. X |-> { x } ) -> ( X ~<_ om <-> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) )
18	16, 17	syl 17	. . 3 |- ( X e. _V -> ( X ~<_ om <-> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) )
19		distop 20799	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ~P X e. Top )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ x e. X ) -> x e. X )
21	7	snelpw 4913	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X <-> { x } e. ~P X )
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. _V /\ x e. X ) -> { x } e. ~P X )
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> { x } ) = ( x e. X |-> { x } )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( x e. X |-> { x } ) : X --> ~P X )
25		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> { x } ) : X --> ~P X -> ran ( x e. X |-> { x } ) C_ ~P X )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ran ( x e. X |-> { x } ) C_ ~P X )
27		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
28	27	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> y C_ X )
29		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> z e. y )
30	28, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> z e. X )
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> { z } = { z } )
32		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> { x } = { z } )
33	32	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( { z } = { x } <-> { z } = { z } ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ { z } = { z } ) -> E. x e. X { z } = { x } )
35	30, 31, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> E. x e. X { z } = { x } )
36		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { z } e. _V
37	23	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( { z } e. _V -> ( { z } e. ran ( x e. X |-> { x } ) <-> E. x e. X { z } = { x } ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } e. ran ( x e. X |-> { x } ) <-> E. x e. X { z } = { x } )
39	35, 38	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> { z } e. ran ( x e. X |-> { x } ) )
40		vsnid 4209	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> z e. { z } )
42	29	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> { z } C_ y )
43		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = { z } -> ( z e. w <-> z e. { z } ) )
44		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = { z } -> ( w C_ y <-> { z } C_ y ) )
45	43, 44	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { z } -> ( ( z e. w /\ w C_ y ) <-> ( z e. { z } /\ { z } C_ y ) ) )
46	45	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z } e. ran ( x e. X |-> { x } ) /\ ( z e. { z } /\ { z } C_ y ) ) -> E. w e. ran ( x e. X |-> { x } ) ( z e. w /\ w C_ y ) )
47	39, 41, 42, 46	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. _V /\ ( y e. ~P X /\ z e. y ) ) -> E. w e. ran ( x e. X |-> { x } ) ( z e. w /\ w C_ y ) )
48	47	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> A. y e. ~P X A. z e. y E. w e. ran ( x e. X |-> { x } ) ( z e. w /\ w C_ y ) )
49		basgen2 20793	. . . . . . 7 |- ( ( ~P X e. Top /\ ran ( x e. X |-> { x } ) C_ ~P X /\ A. y e. ~P X A. z e. y E. w e. ran ( x e. X |-> { x } ) ( z e. w /\ w C_ y ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) = ~P X )
50	19, 26, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) = ~P X )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) = ~P X )
52	50, 19	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) e. Top )
53		tgclb 20774	. . . . . . 7 |- ( ran ( x e. X |-> { x } ) e. TopBases <-> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) e. Top )
54	52, 53	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ran ( x e. X |-> { x } ) e. TopBases )
55		2ndci 21251	. . . . . 6 |- ( ( ran ( x e. X |-> { x } ) e. TopBases /\ ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) e. 2ndc )
56	54, 55	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) -> ( topGen ` ran ( x e. X |-> { x } ) ) e. 2ndc )
57	51, 56	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) -> ~P X e. 2ndc )
58		is2ndc 21249	. . . . . 6 |- ( ~P X e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) )
59		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- b e. _V
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
61	60, 21	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> { x } e. ~P X )
62		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> ( topGen ` b ) = ~P X )
63	61, 62	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> { x } e. ( topGen ` b ) )
64		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. { x }
65		tg2 20769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { x } e. ( topGen ` b ) /\ x e. { x } ) -> E. y e. b ( x e. y /\ y C_ { x } ) )
66	63, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> E. y e. b ( x e. y /\ y C_ { x } ) )
67		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> x e. y )
68	67	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> { x } C_ y )
69		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> y C_ { x } )
70	68, 69	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> { x } = y )
71		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> y e. b )
72	70, 71	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. b /\ ( x e. y /\ y C_ { x } ) ) ) -> { x } e. b )
73	66, 72	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) /\ x e. X ) -> { x } e. b )
74	73, 23	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) -> ( x e. X |-> { x } ) : X --> b )
75		frn 6053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X |-> { x } ) : X --> b -> ran ( x e. X |-> { x } ) C_ b )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) C_ b )
77		ssdomg 8001	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. _V -> ( ran ( x e. X |-> { x } ) C_ b -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ b ) )
78	59, 76, 77	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ b )
79		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) -> b ~<_ om )
80		domtr 8009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om )
81	78, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om )
82	81	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ b e. TopBases ) -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) )
83	82	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = ~P X ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) )
84	58, 83	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( X e. _V -> ( ~P X e. 2ndc -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om ) )
85	84	imp 445	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ~P X e. 2ndc ) -> ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om )
86	57, 85	impbida 877	. . 3 |- ( X e. _V -> ( ran ( x e. X |-> { x } ) ~<_ om <-> ~P X e. 2ndc ) )
87	18, 86	bitrd 268	. 2 |- ( X e. _V -> ( X ~<_ om <-> ~P X e. 2ndc ) )
88	2, 3, 87	pm5.21nii 368	1 |- ( X ~<_ om <-> ~P X e. 2ndc )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by: (None)