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Theorem 1stcelcls 21264

Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 9257. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
1stcelcls.1

**Assertion**
Ref	Expression
1stcelcls	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem 1stcelcls Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . 5 $/\$ $/\$
2		1stctop 21246	. . . . . . 7
3		1stcelcls.1	. . . . . . . 8
4	3	clsss3 20863	. . . . . . 7 $/\$
5	2, 4	sylan 488	. . . . . 6 $/\$
6	5	sselda 3603	. . . . 5 $/\$ $/\$
7	3	1stcfb 21248	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	3	elcls2 20878	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
12	2, 11	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
13	12	simplbda 654	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
17	16	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
21	20	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22	18, 21	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12
24		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12
26	23, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11
27	26	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10
28	10, 14, 22, 27	syl3c 66	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30		ancom 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
31	29, 30	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	exbii 1774	. . . . . . . . . 10 $/\$
33		n0 3931	. . . . . . . . . 10
34		df-rex 2918	. . . . . . . . . 10 $/\$
35	32, 33, 34	3bitr4i 292	. . . . . . . . 9
36	28, 35	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
38	3	topopn 20711	. . . . . . . . . . . . 13
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
40		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41	39, 40	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
42		fvi 6255	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	44	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	36, 45	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		fvex 6201	. . . . . . 7
49		nnenom 12779	. . . . . . 7
50		eleq1 2689	. . . . . . 7
51	48, 49, 50	axcc4 9261	. . . . . 6 $/\$
52	47, 51	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	43	feq3d 6032	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
54	53	biimpd 219	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	54	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	62	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	61, 63	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	58, 64	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67	57, 66	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
69	68	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74	73	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
75	74	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77	76	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
78	77	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
80	79	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
81	80	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
82		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
83	82	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
84		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
88	86, 87	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
89	88	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
90	84, 89	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
91	90	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
92		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
94	93	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
95	94	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
96	75, 78, 81, 78, 83, 95	uzind4 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
97	96	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
98	97	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
99	71, 72, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	72, 84	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104	103, 76	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105	104	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106	100, 102, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
109	99, 107, 108	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
111	110	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
112	109, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114	113	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	112, 114	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	67, 118	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	3	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . 12 TopOn
123	121, 122	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ TopOn
124		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
125		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	126, 127	fssd 6057	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	123, 124, 125, 128, 129	lmbrf 21064	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	56, 120, 130	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	imdistanda 729	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	55, 133	syland 498	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	eximdv 1846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	52, 135	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	8, 136	exlimddv 1863	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	ex 450	. 2 $/\$ $/\$
139	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 122	sylib 208	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ TopOn
141		1zzd 11408	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
142		simprr 796	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
143		simprl 794	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
144	143	ffvelrnda 6359	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145		simplr 792	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
146	124, 140, 141, 142, 144, 145	lmcls 21106	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$
148	147	exlimdv 1861	. 2 $/\$ $/\$
149	138, 148	impbid 202	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cuni 4436 class class class wbr 4653

cid 5023

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1 9937

caddc 9939

cn 11020

cz 11377

cuz 11687

ctop 20698 TopOnctopon 20715

ccl 20822

clm 21030

c1stc 21240

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-top 20699 df-topon 20716 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-lm 21033 df-1stc 21242

This theorem is referenced by: 1stccnp 21265 hausmapdom 21303 1stckgen 21357 metelcls 23103

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