Theorem 2ndcsep 21262

Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2ndcsep.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
2ndcsep	|- ( J e. 2ndc -> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, X

Proof of Theorem 2ndcsep

Dummy variables f b y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 21249	. 2 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
3		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( b \ { (/) } ) C_ b
4		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9 |- ( b e. _V -> ( ( b \ { (/) } ) C_ b -> ( b \ { (/) } ) ~<_ b ) )
5	2, 3, 4	mp2 9	. . . . . . . 8 |- ( b \ { (/) } ) ~<_ b
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> b ~<_ om )
7		domtr 8009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b \ { (/) } ) ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> ( b \ { (/) } ) ~<_ om )
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( b \ { (/) } ) ~<_ om )
9		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( b \ { (/) } ) <-> ( y e. b /\ y =/= (/) ) )
10		n0 3931	. . . . . . . . . 10 |- ( y =/= (/) <-> E. z z e. y )
11		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. y /\ y e. b ) -> z e. U. b )
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. y /\ y e. b ) -> z e. y )
13	11, 12	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. y /\ y e. b ) -> ( z e. U. b /\ z e. y ) )
14	13	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. b -> ( z e. y -> ( z e. U. b /\ z e. y ) ) )
15	14	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. b -> ( E. z z e. y -> E. z ( z e. U. b /\ z e. y ) ) )
16	15	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. b /\ E. z z e. y ) -> E. z ( z e. U. b /\ z e. y ) )
17		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. U. b z e. y <-> E. z ( z e. U. b /\ z e. y ) )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. b /\ E. z z e. y ) -> E. z e. U. b z e. y )
19	10, 18	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. b /\ y =/= (/) ) -> E. z e. U. b z e. y )
20	9, 19	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( b \ { (/) } ) -> E. z e. U. b z e. y )
21	20	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. y e. ( b \ { (/) } ) E. z e. U. b z e. y
22		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. b e. _V
23		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = ( f ` y ) -> ( z e. y <-> ( f ` y ) e. y ) )
24	22, 23	axcc4dom 9263	. . . . . . 7 |- ( ( ( b \ { (/) } ) ~<_ om /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) E. z e. U. b z e. y ) -> E. f ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) )
25	8, 21, 24	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> E. f ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) )
26		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ran f C_ U. b )
27	26	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ran f C_ U. b )
28		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
29	28	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran f e. _V
30	29	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( ran f e. ~P U. b <-> ran f C_ U. b )
31	27, 30	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ran f e. ~P U. b )
32		omelon 8543	. . . . . . . . . . 11 |- om e. On
33	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> b ~<_ om )
34		ondomen 8860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. On /\ b ~<_ om ) -> b e. dom card )
35	32, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> b e. dom card )
36		ssnum 8862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. dom card /\ ( b \ { (/) } ) C_ b ) -> ( b \ { (/) } ) e. dom card )
37	35, 3, 36	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( b \ { (/) } ) e. dom card )
38		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> f Fn ( b \ { (/) } ) )
39	38	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> f Fn ( b \ { (/) } ) )
40		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn ( b \ { (/) } ) <-> f : ( b \ { (/) } ) -onto-> ran f )
41	39, 40	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> f : ( b \ { (/) } ) -onto-> ran f )
42		fodomnum 8880	. . . . . . . . 9 |- ( ( b \ { (/) } ) e. dom card -> ( f : ( b \ { (/) } ) -onto-> ran f -> ran f ~<_ ( b \ { (/) } ) ) )
43	37, 41, 42	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ran f ~<_ ( b \ { (/) } ) )
44	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( b \ { (/) } ) ~<_ om )
45		domtr 8009	. . . . . . . 8 |- ( ( ran f ~<_ ( b \ { (/) } ) /\ ( b \ { (/) } ) ~<_ om ) -> ran f ~<_ om )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ran f ~<_ om )
47		tgcl 20773	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. TopBases -> ( topGen ` b ) e. Top )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( topGen ` b ) e. Top )
49		unitg 20771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. _V -> U. ( topGen ` b ) = U. b )
50	2, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( topGen ` b ) = U. b
51	50	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- U. b = U. ( topGen ` b )
52	51	clsss3 20863	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` b ) e. Top /\ ran f C_ U. b ) -> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) C_ U. b )
53	48, 27, 52	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) C_ U. b )
54		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. y -> y =/= (/) )
55	54	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. b /\ x e. y ) -> ( y e. b /\ y =/= (/) ) )
56	55, 9	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. b /\ x e. y ) -> y e. ( b \ { (/) } ) )
57		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f Fn ( b \ { (/) } ) /\ y e. ( b \ { (/) } ) ) -> ( f ` y ) e. ran f )
58	38, 57	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ y e. ( b \ { (/) } ) ) -> ( f ` y ) e. ran f )
59		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f ` y ) e. y /\ ( f ` y ) e. ran f ) -> ( y i^i ran f ) =/= (/) )
60	59	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f ` y ) e. ran f -> ( ( f ` y ) e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) )
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ y e. ( b \ { (/) } ) ) -> ( ( f ` y ) e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) )
62	61	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ( y e. ( b \ { (/) } ) -> ( ( f ` y ) e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) )
63	62	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ( ( y e. ( b \ { (/) } ) -> ( f ` y ) e. y ) -> ( y e. ( b \ { (/) } ) -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) )
64	56, 63	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ( ( y e. ( b \ { (/) } ) -> ( f ` y ) e. y ) -> ( ( y e. b /\ x e. y ) -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) )
65	64	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ( ( y e. ( b \ { (/) } ) -> ( f ` y ) e. y ) -> ( y e. b -> ( x e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) ) )
66	65	ralimdv2 2961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b -> ( A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y -> A. y e. b ( x e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) -> A. y e. b ( x e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) )
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> A. y e. b ( x e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) )
69		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> ( topGen ` b ) = ( topGen ` b ) )
70	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> U. b = U. ( topGen ` b ) )
71		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> b e. TopBases )
72	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> ran f C_ U. b )
73		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> x e. U. b )
74	69, 70, 71, 72, 73	elcls3 20887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) <-> A. y e. b ( x e. y -> ( y i^i ran f ) =/= (/) ) ) )
75	68, 74	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) /\ x e. U. b ) -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) )
76	75	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( x e. U. b -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) ) )
77	76	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> U. b C_ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) )
78	53, 77	eqssd 3620	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) = U. b )
79		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = ran f -> ( x ~<_ om <-> ran f ~<_ om ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ran f -> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) )
81	80	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = ran f -> ( ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b <-> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) = U. b ) )
82	79, 81	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = ran f -> ( ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) <-> ( ran f ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) = U. b ) ) )
83	82	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ran f e. ~P U. b /\ ( ran f ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` ran f ) = U. b ) ) -> E. x e. ~P U. b ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) )
84	31, 46, 78, 83	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) /\ ( f : ( b \ { (/) } ) --> U. b /\ A. y e. ( b \ { (/) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> E. x e. ~P U. b ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) )
85	25, 84	exlimddv 1863	. . . . 5 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> E. x e. ~P U. b ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) )
86		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
87		2ndcsep.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
88	86, 51, 87	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. b = X )
89	88	pweqd 4163	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P U. b = ~P X )
90		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( cls ` ( topGen ` b ) ) = ( cls ` J ) )
91	90	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` x ) )
92	91, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b <-> ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) )
93	92	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) <-> ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) ) )
94	89, 93	rexeqbidv 3153	. . . . 5 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. x e. ~P U. b ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` ( topGen ` b ) ) ` x ) = U. b ) <-> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) ) )
95	85, 94	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) ) )
96	95	impr 649	. . 3 |- ( ( b e. TopBases /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) )
97	96	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) )
98	1, 97	sylbi 207	1 |- ( J e. 2ndc -> E. x e. ~P X ( x ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` x ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   clsccl 20822   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by:  met2ndc  22328