Theorem f1oeng 7974

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6144	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		fornex 7135	. . . 4 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )
3	1, 2	syl5 34	. . 3 |- ( A e. C -> ( F : A -1-1-onto-> B -> B e. _V ) )
4	3	imp 445	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. _V )
5		f1oen2g 7972	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
6	5	3com23 1271	. 2 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B /\ B e. _V ) -> A ~~ B )
7	4, 6	mpd3an3 1425	1 |- ( ( A e. C /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-en 7956

This theorem is referenced by:  f1oen  7976  f1imaeng  8016  f1dmvrnfibi  8250  onacda  9019  fictb  9067  canthp1lem2  9475  unbenlem  15612  4sqlem11  15659  conjsubgen  17693  dis2ndc  21263  ovoliunlem1  23270  logfac2  24942  rabfodom  29344  eulerpartlemgs2  30442  matunitlindflem2  33406