Theorem eqsupd 8363

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
eqsupd.2	|- ( ph -> C e. A )
eqsupd.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsupd.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )

Assertion

Ref	Expression
eqsupd	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   y, z, A   y, R, z   y, B, z   y, C   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( z)

Proof of Theorem eqsupd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsupd.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqsupd.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
3	2	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
4		eqsupd.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	4	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
6	5	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7		supmo.1	. . 3 |- ( ph -> R Or A )
8	7	eqsup 8362	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1427	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Or wor 5034   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  supmax  8373  supiso  8381  dfgcd2  15263  esumpcvgval  30140  esum2d  30155  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  itg2addnclem  33461  radcnvrat  38513