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Theorem dfgcd2 15263

Description: Alternate definition of the

operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
dfgcd2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem dfgcd2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 15228	. . . . . 6 $/\$
2	1	nn0ge0d 11354	. . . . 5 $/\$
3		gcddvds 15225	. . . . 5 $/\$ $/\$
4		3anass 1042	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		ancom 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	4, 5	bitri 264	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		dvdsgcd 15261	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
8	6, 7	sylbir 225	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$ $/\$
10	2, 3, 9	3jca 1242	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		breq2 4657	. . . . 5
13		breq1 4656	. . . . . 6
14		breq1 4656	. . . . . 6
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		breq2 4657	. . . . . . 7
17	16	imbi2d 330	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	17	ralbidv 2986	. . . . 5 $/\$ $/\$
19	12, 15, 18	3anbi123d 1399	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	11, 20	mpbird 247	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		gcdval 15218	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24		iftrue 4092	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
27		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	bi2anan9 917	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
30		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
34	28, 33	3anbi23d 1402	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		dvdszrcl 14988	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		dvds0 14997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	36, 36	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
39		pm5.5 351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
42		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	43	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46		0dvds 15002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47	46	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49	47, 48	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	45, 49	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
52	41, 51	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
55	35, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
57	56	com12 32	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	3imp 1256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	34, 58	syl6bi 243	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	adantld 483	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	25, 61	eqtrd 2656	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		iffalse 4095	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	63	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		ltso 10118	. . . . . . 7
66	65	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		dvdszrcl 14988	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	67	simpld 475	. . . . . . . . . 10
69	68	zred 11482	. . . . . . . . 9
70	69	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
71	70	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ad2antll 765	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
74		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
75	73, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
76	75	elrab 3363	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
77		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79	77, 78	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81	79, 80	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
82	81	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
84	83	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
87	86	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
89	67, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
91	90	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
92		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\/$
94		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
96		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
97	95, 96	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
98	97	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		ianor 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $\/$
101		dvdszrcl 14988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
102		0dvds 15002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
103		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
104	102, 103	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
106	101, 105	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
108	107	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
109		dvdszrcl 14988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
110		0dvds 15002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
111		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
112	110, 111	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
114	109, 113	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
116	115	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
117	108, 116	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $\/$ $/\$
118	100, 117	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
119	118	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	99, 120	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	94, 122	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	93, 123	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	124	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
128	92, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135	134	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	70	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
138	135, 136, 137	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	133, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	91, 140	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	85, 143	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	145	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	3imp 1256	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	com12 32	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	expimpd 629	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	expimpd 629	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	76, 150	sylbi 207	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	151	impcom 446	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
154	153	ancri 575	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
155	154	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	156	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
159		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
160	158, 159	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
161	160	elrab 3363	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
162	157, 161	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163		breq2 4657	. . . . . . . 8
164	163	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		simprr 796	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	162, 164, 165	rspcedvd 3317	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	66, 72, 152, 166	eqsupd 8363	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	64, 167	eqtrd 2656	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	62, 168	pm2.61ian 831	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170	23, 169	eqtr2d 2657	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	21, 170	impbida 877	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

crab 2916

cif 4086 class class class wbr 4653

wor 5034 (class class class)co 6650

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cdvds 14983

cgcd 15216

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217

This theorem is referenced by: dfgcd3 33170

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