Theorem fbasrn 21688

Description: Given a filter on a domain, produce a filter on the range. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fbasrn.c	|- C = ran ( x e. B |-> ( F " x ) )

Assertion

Ref	Expression
fbasrn	|- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> C e. ( fBas ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, V   x, X   x, Y

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fbasrn

Dummy variables s r u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbasrn.c	. . 3 |- C = ran ( x e. B |-> ( F " x ) )
2		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x e. B ) -> F : X --> Y )
3		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( F " x ) C_ ran F
4		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> ran F C_ Y )
5	3, 4	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( F " x ) C_ Y )
6	2, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x e. B ) -> ( F " x ) C_ Y )
7		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x e. B ) -> Y e. V )
8		elpw2g 4827	. . . . . . 7 |- ( Y e. V -> ( ( F " x ) e. ~P Y <-> ( F " x ) C_ Y ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x e. B ) -> ( ( F " x ) e. ~P Y <-> ( F " x ) C_ Y ) )
10	6, 9	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x e. B ) -> ( F " x ) e. ~P Y )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. B |-> ( F " x ) ) = ( x e. B |-> ( F " x ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x e. B |-> ( F " x ) ) : B --> ~P Y )
13		frn 6053	. . . 4 |- ( ( x e. B |-> ( F " x ) ) : B --> ~P Y -> ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) C_ ~P Y )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) C_ ~P Y )
15	1, 14	syl5eqss 3649	. 2 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> C C_ ~P Y )
16	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> C = ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) )
17		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> Fun F )
19		funimaexg 5975	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ x e. B ) -> ( F " x ) e. _V )
20	19	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> A. x e. B ( F " x ) e. _V )
21		dmmptg 5632	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( F " x ) e. _V -> dom ( x e. B |-> ( F " x ) ) = B )
22	18, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> dom ( x e. B |-> ( F " x ) ) = B )
23		fbasne0 21634	. . . . . . 7 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B =/= (/) )
24	23	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> B =/= (/) )
25	22, 24	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> dom ( x e. B |-> ( F " x ) ) =/= (/) )
26		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom ( x e. B |-> ( F " x ) ) = (/) <-> ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) = (/) )
27	26	necon3bii 2846	. . . . 5 |- ( dom ( x e. B |-> ( F " x ) ) =/= (/) <-> ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) =/= (/) )
28	25, 27	sylib 208	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) =/= (/) )
29	16, 28	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> C =/= (/) )
30		fbelss 21637	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ x e. B ) -> x C_ X )
31	30	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( x e. B -> x C_ X ) )
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x e. B -> x C_ X ) )
33		0nelfb 21635	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> -. (/) e. B )
34		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x e. B <-> (/) e. B ) )
35	34	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( -. x e. B <-> -. (/) e. B ) )
36	33, 35	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( x = (/) -> -. x e. B ) )
37	36	con2d 129	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( x e. B -> -. x = (/) ) )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x e. B -> -. x = (/) ) )
39	32, 38	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x e. B -> ( x C_ X /\ -. x = (/) ) ) )
40		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
41	40	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> dom F = X )
42	41	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x C_ dom F <-> x C_ X ) )
43	42	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x C_ X ) -> x C_ dom F )
44		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ dom F <-> ( dom F i^i x ) = x )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x C_ X ) -> ( dom F i^i x ) = x )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x C_ X ) -> ( ( dom F i^i x ) = (/) <-> x = (/) ) )
47	46	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x C_ X ) -> ( ( dom F i^i x ) = (/) -> x = (/) ) )
48	47	con3d 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ x C_ X ) -> ( -. x = (/) -> -. ( dom F i^i x ) = (/) ) )
49	48	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( x C_ X /\ -. x = (/) ) -> -. ( dom F i^i x ) = (/) ) )
50		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( (/) = ( F " x ) <-> ( F " x ) = (/) )
51		imadisj 5484	. . . . . . . . 9 |- ( ( F " x ) = (/) <-> ( dom F i^i x ) = (/) )
52	50, 51	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( (/) = ( F " x ) <-> ( dom F i^i x ) = (/) )
53	52	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. (/) = ( F " x ) <-> -. ( dom F i^i x ) = (/) )
54	49, 53	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( x C_ X /\ -. x = (/) ) -> -. (/) = ( F " x ) ) )
55	39, 54	syld 47	. . . . 5 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( x e. B -> -. (/) = ( F " x ) ) )
56	55	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> A. x e. B -. (/) = ( F " x ) )
57	1	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( (/) e. C <-> (/) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) )
58		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
59	11	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. B (/) = ( F " x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. B (/) = ( F " x ) )
61	57, 60	bitri 264	. . . . . 6 |- ( (/) e. C <-> E. x e. B (/) = ( F " x ) )
62	61	notbii 310	. . . . 5 |- ( -. (/) e. C <-> -. E. x e. B (/) = ( F " x ) )
63		df-nel 2898	. . . . 5 |- ( (/) e/ C <-> -. (/) e. C )
64		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. x e. B -. (/) = ( F " x ) <-> -. E. x e. B (/) = ( F " x ) )
65	62, 63, 64	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( (/) e/ C <-> A. x e. B -. (/) = ( F " x ) )
66	56, 65	sylibr 224	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> (/) e/ C )
67	1	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( r e. C <-> r e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) )
68		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- r e. _V
69		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( F " x ) = ( F " u ) )
70	69	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B |-> ( F " x ) ) = ( u e. B |-> ( F " u ) )
71	70	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( r e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. u e. B r = ( F " u ) ) )
72	68, 71	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( r e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. u e. B r = ( F " u ) )
73	67, 72	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( r e. C <-> E. u e. B r = ( F " u ) )
74	1	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( s e. C <-> s e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) )
75		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
76		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( F " x ) = ( F " v ) )
77	76	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B |-> ( F " x ) ) = ( v e. B |-> ( F " v ) )
78	77	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( s e. _V -> ( s e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. v e. B s = ( F " v ) ) )
79	75, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( s e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. v e. B s = ( F " v ) )
80	74, 79	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( s e. C <-> E. v e. B s = ( F " v ) )
81	73, 80	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( r e. C /\ s e. C ) <-> ( E. u e. B r = ( F " u ) /\ E. v e. B s = ( F " v ) ) )
82		reeanv 3107	. . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) <-> ( E. u e. B r = ( F " u ) /\ E. v e. B s = ( F " v ) ) )
83	81, 82	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( r e. C /\ s e. C ) <-> E. u e. B E. v e. B ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) )
84		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ u e. B /\ v e. B ) -> E. w e. B w C_ ( u i^i v ) )
85	84	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> E. w e. B w C_ ( u i^i v ) )
86	85	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> E. w e. B w C_ ( u i^i v ) )
87	86	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) ) -> E. w e. B w C_ ( u i^i v ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " w ) = ( F " w )
89		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F " x ) = ( F " w ) )
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ( F " w ) = ( F " x ) <-> ( F " w ) = ( F " w ) ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. B /\ ( F " w ) = ( F " w ) ) -> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) )
92	88, 91	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) )
93	92	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) )
94	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " w ) e. C <-> ( F " w ) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) )
95		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
96	95	funimaex 5976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F -> ( F " w ) e. _V )
97	11	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " w ) e. _V -> ( ( F " w ) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) ) )
98	18, 96, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( F " w ) e. ran ( x e. B |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) ) )
99	94, 98	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( F " w ) e. C <-> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) ) )
100	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( ( F " w ) e. C <-> E. x e. B ( F " w ) = ( F " x ) ) )
101	93, 100	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( F " w ) e. C )
102		imass2 5501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ ( u i^i v ) -> ( F " w ) C_ ( F " ( u i^i v ) ) )
103	102	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( F " w ) C_ ( F " ( u i^i v ) ) )
104		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i v ) C_ u
105		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i v ) C_ u -> ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( F " u ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( F " u )
107		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i v ) C_ v
108		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i v ) C_ v -> ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( F " v ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( F " v )
110	106, 109	ssini 3836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( ( F " u ) i^i ( F " v ) )
111		ineq12 3809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) -> ( r i^i s ) = ( ( F " u ) i^i ( F " v ) ) )
112	111	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( r i^i s ) = ( ( F " u ) i^i ( F " v ) ) )
113	110, 112	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( F " ( u i^i v ) ) C_ ( r i^i s ) )
114	103, 113	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> ( F " w ) C_ ( r i^i s ) )
115		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F " w ) -> ( z C_ ( r i^i s ) <-> ( F " w ) C_ ( r i^i s ) ) )
116	115	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " w ) e. C /\ ( F " w ) C_ ( r i^i s ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) )
117	101, 114, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) )
118	117	adantlrl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) ) /\ ( w e. B /\ w C_ ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) )
119	87, 118	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) /\ ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) )
120	119	exp32 631	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( u e. B /\ v e. B ) -> ( ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) ) )
121	120	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( r = ( F " u ) /\ s = ( F " v ) ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) )
122	83, 121	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( ( r e. C /\ s e. C ) -> E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) )
123	122	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> A. r e. C A. s e. C E. z e. C z C_ ( r i^i s ) )
124	29, 66, 123	3jca 1242	. 2 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( C =/= (/) /\ (/) e/ C /\ A. r e. C A. s e. C E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) )
125		isfbas2 21639	. . 3 |- ( Y e. V -> ( C e. ( fBas ` Y ) <-> ( C C_ ~P Y /\ ( C =/= (/) /\ (/) e/ C /\ A. r e. C A. s e. C E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) ) ) )
126	125	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> ( C e. ( fBas ` Y ) <-> ( C C_ ~P Y /\ ( C =/= (/) /\ (/) e/ C /\ A. r e. C A. s e. C E. z e. C z C_ ( r i^i s ) ) ) ) )
127	15, 124, 126	mpbir2and 957	1 |- ( ( B e. ( fBas ` X ) /\ F : X --> Y /\ Y e. V ) -> C e. ( fBas ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  fmfil  21748  fmss  21750  elfm  21751  fmucnd  22096  fmcfil  23070