Theorem dm0rn0 5342

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1706	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 2042	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 324	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1706	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 267	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3919	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 362	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3919	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 362	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 290	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2733	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2733	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 292	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 5124	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2627	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 5311	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2627	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 292	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rn0  5377  relrn0  5383  imadisj  5484  rnsnn0  5601  f00  6087  f0rn0  6090  2nd0  7175  iinon  7437  onoviun  7440  onnseq  7441  map0b  7896  fodomfib  8240  intrnfi  8322  wdomtr  8480  noinfep  8557  wemapwe  8594  fin23lem31  9165  fin23lem40  9173  isf34lem7  9201  isf34lem6  9202  ttukeylem6  9336  fodomb  9348  rpnnen1lem4  11817  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem4OLD  11823  rpnnen1lem5OLD  11824  fseqsupcl  12776  fseqsupubi  12777  dmtrclfv  13759  ruclem11  14969  prmreclem6  15625  0ram  15724  0ram2  15725  0ramcl  15727  gsumval2  17280  ghmrn  17673  gexex  18256  gsumval3  18308  iinopn  20707  hauscmplem  21209  fbasrn  21688  alexsublem  21848  evth  22758  minveclem1  23195  minveclem3b  23199  ovollb2  23257  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  ovoliunlem1  23270  ovoliun2  23274  ioombl1lem4  23329  uniioombllem1  23349  uniioombllem2  23351  uniioombllem6  23356  mbfsup  23431  mbfinf  23432  mbflimsup  23433  itg1climres  23481  itg2monolem1  23517  itg2mono  23520  itg2i1fseq2  23523  itg2cnlem1  23528  minvecolem1  27730  rge0scvg  29995  esumpcvgval  30140  cvmsss2  31256  fin2so  33396  ptrecube  33409  heicant  33444  isbnd3  33583  totbndbnd  33588  rnnonrel  37897  rnmpt0  39412  stoweidlem35  40252  hoicvr  40762