Theorem fmcfil 23070

Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmcfil	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. y e. B A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, B   w, F, x, y, z   w, X, x, y, z   w, Y, x, y, z   w, D, x, y, z

Proof of Theorem fmcfil

Dummy variables u s v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
2		fmval 21747	. . . 4 |- ( ( X e. dom *Met /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
3	1, 2	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
4	3	eleq1d 2686	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` D ) <-> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) e. (CauFil ` D ) ) )
5		simp1 1061	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
7		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> F : Y --> X )
8	1	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> X e. dom *Met )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
10	9	fbasrn 21688	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. dom *Met ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
12		fgcfil 23069	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x ) )
14		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( F " y ) C_ ran F
15		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( F : Y --> X -> ran F C_ X )
16	15	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ran F C_ X )
17	14, 16	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( F " y ) C_ X )
18	8, 17	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( F " y ) e. _V )
19	18	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> A. y e. B ( F " y ) e. _V )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ( y e. B |-> ( F " y ) )
21		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( s = ( F " y ) -> ( A. v e. s ( u D v ) < x <-> A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x ) )
22	21	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( s = ( F " y ) -> ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x <-> A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x ) )
23	20, 22	rexrnmpt 6369	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( F " y ) e. _V -> ( E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x <-> E. y e. B A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x ) )
24	19, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x <-> E. y e. B A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x ) )
25		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> F : Y --> X )
26		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> F Fn Y )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> F Fn Y )
28		fbelss 21637	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ y e. B ) -> y C_ Y )
29	6, 28	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> y C_ Y )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` z ) -> ( u D v ) = ( ( F ` z ) D v ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` z ) -> ( ( u D v ) < x <-> ( ( F ` z ) D v ) < x ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` z ) -> ( A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x <-> A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x ) )
33	32	ralima 6498	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Y /\ y C_ Y ) -> ( A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x <-> A. z e. y A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x ) )
34	27, 29, 33	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> ( A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x <-> A. z e. y A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) D v ) = ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) )
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) D v ) < x <-> ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
37	36	ralima 6498	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn Y /\ y C_ Y ) -> ( A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x <-> A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
38	27, 29, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> ( A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x <-> A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
39	38	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> ( A. z e. y A. v e. ( F " y ) ( ( F ` z ) D v ) < x <-> A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
40	34, 39	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ y e. B ) -> ( A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x <-> A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
41	40	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. y e. B A. u e. ( F " y ) A. v e. ( F " y ) ( u D v ) < x <-> E. y e. B A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
42	24, 41	bitrd 268	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x <-> E. y e. B A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
43	42	ralbidv 2986	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. x e. RR+ E. s e. ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x <-> A. x e. RR+ E. y e. B A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )
44	4, 13, 43	3bitrd 294	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. y e. B A. z e. y A. w e. y ( ( F ` z ) D ( F ` w ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   FilMap cfm 21737  CauFilccfil 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-xmet 19739  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742  df-cfil 23053

This theorem is referenced by:  caucfil  23081