Theorem findcard3 8203

Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard3.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard3.3	|- ( y e. Fin -> ( A. x ( x C. y -> ph ) -> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard3	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   x, A   ta, x   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ch( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem findcard3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7979	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. w e. om A ~~ w )
2		nnon 7071	. . . . . 6 |- ( w e. om -> w e. On )
3		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( w e. om <-> z e. om ) )
4		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( x ~~ w <-> x ~~ z ) )
5	4	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ z -> ph ) ) )
6	5	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) )
7	3, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) ) <-> ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) ) )
8		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> E. w e. om y ~~ w )
9		isfi 7979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. Fin <-> E. w e. om y ~~ w )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> y e. Fin )
11		19.21v 1868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) <-> ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) )
12	11	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. w A. x ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) <-> A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) )
13		ralcom4 3224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. w A. x ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) <-> A. x A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) )
14	12, 13	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) <-> A. x A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) )
15		pssss 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C. y -> x C_ y )
16		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. Fin /\ x C_ y ) -> x e. Fin )
17		isfi 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. Fin <-> E. z e. om x ~~ z )
18	16, 17	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. Fin /\ x C_ y ) -> E. z e. om x ~~ z )
19	10, 15, 18	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> E. z e. om x ~~ z )
20		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x ~~ z -> z ~~ x )
21	20	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> z ~~ x )
22		php3 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. Fin /\ x C. y ) -> x ~< y )
23	10, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> x ~< y )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> x ~< y )
25		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> y ~~ w )
26		sdomentr 8094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x ~< y /\ y ~~ w ) -> x ~< w )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> x ~< w )
28		ensdomtr 8096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z ~~ x /\ x ~< w ) -> z ~< w )
29	21, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> z ~< w )
30		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. om -> z e. On )
31	30	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> z e. On )
32	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> w e. On )
33		sdomel 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z ~< w -> z e. w ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> ( z ~< w -> z e. w ) )
35	29, 34	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) /\ ( z e. om /\ x ~~ z ) ) -> z e. w )
36	35	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( ( z e. om /\ x ~~ z ) -> z e. w ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. om /\ x ~~ z ) -> x ~~ z )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( ( z e. om /\ x ~~ z ) -> x ~~ z ) )
39	36, 38	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( ( z e. om /\ x ~~ z ) -> ( z e. w /\ x ~~ z ) ) )
40	39	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( E. z e. om x ~~ z -> E. z e. w x ~~ z ) )
41	19, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> E. z e. w x ~~ z )
42		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ E. z e. w x ~~ z ) -> E. z e. w ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) )
43	42	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. z e. w x ~~ z -> ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> E. z e. w ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) ) )
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> E. z e. w ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) ) )
45		ordom 7074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Ord om
46		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Ord om /\ w e. om ) -> w C_ om )
47	45, 46	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. om -> w C_ om )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> w C_ om )
49	48	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( z e. w -> z e. om ) )
50		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. om -> ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> ( x ~~ z -> ph ) ) )
51	50	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. om -> ( ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) -> ph ) )
52	49, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( z e. w -> ( ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) -> ph ) ) )
53	52	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( E. z e. w ( ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) /\ x ~~ z ) -> ph ) )
54	44, 53	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. om /\ y ~~ w ) /\ x C. y ) -> ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> ph ) )
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> ( x C. y -> ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> ph ) ) )
56	55	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> ( A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> ( x C. y -> ph ) ) )
57	56	alimdv 1845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> ( A. x A. z e. w ( z e. om -> ( x ~~ z -> ph ) ) -> A. x ( x C. y -> ph ) ) )
58	14, 57	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) -> A. x ( x C. y -> ph ) ) )
59		findcard3.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Fin -> ( A. x ( x C. y -> ph ) -> ch ) )
60	10, 58, 59	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. om /\ y ~~ w ) -> ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) -> ch ) )
61	60	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. om /\ A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) ) -> ( y ~~ w -> ch ) )
62	61	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. om /\ A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) ) -> A. y ( y ~~ w -> ch ) )
63	62	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) -> ( w e. om -> A. y ( y ~~ w -> ch ) ) )
64		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ~~ w <-> y ~~ w ) )
65		findcard3.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
66	64, 65	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( y ~~ w -> ch ) ) )
67	66	cbvalv 2273	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. y ( y ~~ w -> ch ) )
68	63, 67	syl6ibr 242	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) -> ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( w e. On -> ( A. z e. w ( z e. om -> A. x ( x ~~ z -> ph ) ) -> ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) ) ) )
70	7, 69	tfis2 7056	. . . . . 6 |- ( w e. On -> ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) ) )
71	2, 70	mpcom 38	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
72	71	rgen 2922	. . . 4 |- A. w e. om A. x ( x ~~ w -> ph )
73		r19.29 3072	. . . 4 |- ( ( A. w e. om A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ E. w e. om A ~~ w ) -> E. w e. om ( A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ A ~~ w ) )
74	72, 73	mpan 706	. . 3 |- ( E. w e. om A ~~ w -> E. w e. om ( A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ A ~~ w ) )
75	1, 74	sylbi 207	. 2 |- ( A e. Fin -> E. w e. om ( A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ A ~~ w ) )
76		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ w <-> A ~~ w ) )
77		findcard3.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
78	76, 77	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( A ~~ w -> ta ) ) )
79	78	spcgv 3293	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) -> ( A ~~ w -> ta ) ) )
80	79	impd 447	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ A ~~ w ) -> ta ) )
81	80	rexlimdvw 3034	. 2 |- ( A e. Fin -> ( E. w e. om ( A. x ( x ~~ w -> ph ) /\ A ~~ w ) -> ta ) )
82	75, 81	mpd 15	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Ord word 5722   Oncon0 5723   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  marypha1lem  8339  pgpfac1  18479  pgpfac  18483  fbfinnfr  21645  wilthlem3  24796