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Theorem fin23lem36 9170
Description: Lemma for fin23 9211. Weak order property of Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.f |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g |- ( ph -> U. ran h C_ G )
fin23lem.h |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
fin23lem.i |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem36 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ A /\ ph ) ) -> U. ran ( Y ` A ) C_ U. ran ( Y ` B ) )
Distinct variable groups:   g, a, i, j, x   A, a, j   h, a, G, g, i, j, x   B, a   F, a   ph, a, j   Y, a, j
Allowed substitution hints:   ph( x, g, h, i)   A( x, g, h, i)   B( x, g, h, i, j)   F( x, g, h, i, j)   Y( x, g, h, i)
Proof of Theorem fin23lem36
Dummy variable b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( a = B -> ( Y ` a ) = ( Y ` B ) )
21rneqd 5353 . . . . . 6 |- ( a = B -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` B ) )
32unieqd 4446 . . . . 5 |- ( a = B -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` B ) )
43sseq1d 3632 . . . 4 |- ( a = B -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) <-> U. ran ( Y ` B ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
54imbi2d 330 . . 3 |- ( a = B -> ( ( ph -> U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) <-> ( ph -> U. ran ( Y ` B ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
6 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( a = b -> ( Y ` a ) = ( Y ` b ) )
76rneqd 5353 . . . . . 6 |- ( a = b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` b ) )
87unieqd 4446 . . . . 5 |- ( a = b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` b ) )
98sseq1d 3632 . . . 4 |- ( a = b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) <-> U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
109imbi2d 330 . . 3 |- ( a = b -> ( ( ph -> U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) <-> ( ph -> U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
11 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( a = suc b -> ( Y ` a ) = ( Y ` suc b ) )
1211rneqd 5353 . . . . . 6 |- ( a = suc b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` suc b ) )
1312unieqd 4446 . . . . 5 |- ( a = suc b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` suc b ) )
1413sseq1d 3632 . . . 4 |- ( a = suc b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) <-> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
1514imbi2d 330 . . 3 |- ( a = suc b -> ( ( ph -> U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) <-> ( ph -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
16 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( Y ` a ) = ( Y ` A ) )
1716rneqd 5353 . . . . . 6 |- ( a = A -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` A ) )
1817unieqd 4446 . . . . 5 |- ( a = A -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` A ) )
1918sseq1d 3632 . . . 4 |- ( a = A -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) <-> U. ran ( Y ` A ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
2019imbi2d 330 . . 3 |- ( a = A -> ( ( ph -> U. ran ( Y ` a ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) <-> ( ph -> U. ran ( Y ` A ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
21 ssid 3624 . . . 4 |- U. ran ( Y ` B ) C_ U. ran ( Y ` B )
22212a1i 12 . . 3 |- ( B e. om -> ( ph -> U. ran ( Y ` B ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
23 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ b /\ ph ) ) -> ph )
24 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ b /\ ph ) ) -> b e. om )
25 fin23lem33.f . . . . . . . . 9 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
26 fin23lem.f . . . . . . . . 9 |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
27 fin23lem.g . . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran h C_ G )
28 fin23lem.h . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
29 fin23lem.i . . . . . . . . 9 |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
3025, 26, 27, 28, 29fin23lem35 9169 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. om ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C. U. ran ( Y ` b ) )
3123, 24, 30syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ b /\ ph ) ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C. U. ran ( Y ` b ) )
3231pssssd 3704 . . . . . 6 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ b /\ ph ) ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` b ) )
33 sstr2 3610 . . . . . 6 |- ( U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` b ) -> ( U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
3432, 33syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ b /\ ph ) ) -> ( U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
3534expr 643 . . . 4 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ B C_ b ) -> ( ph -> ( U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
3635a2d 29 . . 3 |- ( ( ( b e. om /\ B e. om ) /\ B C_ b ) -> ( ( ph -> U. ran ( Y ` b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) -> ( ph -> U. ran ( Y ` suc b ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) ) )
375, 10, 15, 20, 22, 36findsg 7093 . 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B C_ A ) -> ( ph -> U. ran ( Y ` A ) C_ U. ran ( Y ` B ) ) )
3837impr 649 1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( B C_ A /\ ph ) ) -> U. ran ( Y ` A ) C_ U. ran ( Y ` B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506
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