Theorem fin23lem38 9171

Description: Lemma for fin23 9211. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem33.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.f	|- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g	|- ( ph -> U. ran h C_ G )
fin23lem.h	|- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
fin23lem.i	|- Y = ( rec ( i , h ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem38	|- ( ph -> -. |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, g, i, j, x, h, G   F, a   ph, a, b, j   Y, a, b, j

Allowed substitution hints:   ph( x, g, h, i)   F( x, g, h, i, j, b)   Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem38

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 7086	. . . . . . . 8 |- ( d e. om -> suc d e. om )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` suc d )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = suc d -> ( Y ` b ) = ( Y ` suc d ) )
4	3	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = suc d -> ran ( Y ` b ) = ran ( Y ` suc d ) )
5	4	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = suc d -> U. ran ( Y ` b ) = U. ran ( Y ` suc d ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = suc d -> ( U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` b ) <-> U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` suc d ) ) )
7	6	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc d e. om /\ U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` suc d ) ) -> E. b e. om U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` b ) )
8	2, 7	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( suc d e. om -> E. b e. om U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` b ) )
9		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y ` suc d ) e. _V
10	9	rnex 7100	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( Y ` suc d ) e. _V
11	10	uniex 6953	. . . . . . . . . 10 |- U. ran ( Y ` suc d ) e. _V
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) )
13	12	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran ( Y ` suc d ) e. _V -> ( U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) <-> E. b e. om U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` b ) ) )
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) <-> E. b e. om U. ran ( Y ` suc d ) = U. ran ( Y ` b ) )
15	8, 14	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( suc d e. om -> U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) )
16	1, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( d e. om -> U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. om ) -> U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) )
18		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( U. ran ( Y ` suc d ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) -> |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` suc d ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. om ) -> |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` suc d ) )
20		fin23lem33.f	. . . . . 6 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
21		fin23lem.f	. . . . . 6 |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
22		fin23lem.g	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ran h C_ G )
23		fin23lem.h	. . . . . 6 |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
24		fin23lem.i	. . . . . 6 |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
25	20, 21, 22, 23, 24	fin23lem35 9169	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. om ) -> U. ran ( Y ` suc d ) C. U. ran ( Y ` d ) )
26	19, 25	sspsstrd 3715	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. om ) -> |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` d ) )
27		dfpss2 3692	. . . . 5 |- ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` d ) <-> ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` d ) /\ -. |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) ) )
28	27	simprbi 480	. . . 4 |- ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` d ) -> -. |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) )
29	26, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. om ) -> -. |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) )
30	29	nrexdv 3001	. 2 |- ( ph -> -. E. d e. om |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( b = d -> ( Y ` b ) = ( Y ` d ) )
32	31	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( b = d -> ran ( Y ` b ) = ran ( Y ` d ) )
33	32	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( b = d -> U. ran ( Y ` b ) = U. ran ( Y ` d ) )
34	33	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = ( d e. om |-> U. ran ( Y ` d ) )
35	34	elrnmpt 5372	. . 3 |- ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) -> ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) <-> E. d e. om |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) ) )
36	35	ibi 256	. 2 |- ( |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) -> E. d e. om |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) = U. ran ( Y ` d ) )
37	30, 36	nsyl 135	1 |- ( ph -> -. |^| ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) e. ran ( b e. om |-> U. ran ( Y ` b ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  fin23lem39  9172