Theorem fin23lem39 9172

Description: Lemma for fin23 9211. Thus, we have that g could not have been in F after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem33.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.f	|- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g	|- ( ph -> U. ran h C_ G )
fin23lem.h	|- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
fin23lem.i	|- Y = ( rec ( i , h ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem39	|- ( ph -> -. G e. F )

Distinct variable groups:   g, a, i, j, x, h, G   F, a   ph, a, j   Y, a, j

Allowed substitution hints:   ph( x, g, h, i)   F( x, g, h, i, j)   Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem39

Dummy variables c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem33.f	. . 3 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
2		fin23lem.f	. . 3 |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
3		fin23lem.g	. . 3 |- ( ph -> U. ran h C_ G )
4		fin23lem.h	. . 3 |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
5		fin23lem.i	. . 3 |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
6	1, 2, 3, 4, 5	fin23lem38 9171	. 2 |- ( ph -> -. |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	fin23lem34 9168	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. om ) -> ( ( Y ` c ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` c ) C_ G ) )
8	7	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. om ) -> U. ran ( Y ` c ) C_ G )
9	8	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. om ) -> U. ran ( Y ` c ) C_ G )
10		elpw2g 4827	. . . . . . 7 |- ( G e. F -> ( U. ran ( Y ` c ) e. ~P G <-> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. om ) -> ( U. ran ( Y ` c ) e. ~P G <-> U. ran ( Y ` c ) C_ G ) )
12	9, 11	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ G e. F ) /\ c e. om ) -> U. ran ( Y ` c ) e. ~P G )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : om --> ~P G )
15		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( G e. F -> ~P G e. _V )
16		vex 3203	. . . . . . 7 |- h e. _V
17		f1f 6101	. . . . . . 7 |- ( h : om -1-1-> _V -> h : om --> _V )
18		dmfex 7124	. . . . . . 7 |- ( ( h e. _V /\ h : om --> _V ) -> om e. _V )
19	16, 17, 18	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( h : om -1-1-> _V -> om e. _V )
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> om e. _V )
21		elmapg 7870	. . . . 5 |- ( ( ~P G e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m om ) <-> ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : om --> ~P G ) )
22	15, 20, 21	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m om ) <-> ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) : om --> ~P G ) )
23	14, 22	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m om ) )
24	1	isfin3ds 9151	. . . . 5 |- ( G e. F -> ( G e. F <-> A. d e. ( ~P G ^m om ) ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) ) )
25	24	ibi 256	. . . 4 |- ( G e. F -> A. d e. ( ~P G ^m om ) ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) )
26	25	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> A. d e. ( ~P G ^m om ) ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) )
27	1, 2, 3, 4, 5	fin23lem35 9169	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. om ) -> U. ran ( Y ` suc e ) C. U. ran ( Y ` e ) )
28	27	pssssd 3704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. om ) -> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) )
29		peano2 7086	. . . . . . . . 9 |- ( e e. om -> suc e e. om )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = suc e -> ( Y ` c ) = ( Y ` suc e ) )
31	30	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = suc e -> ran ( Y ` c ) = ran ( Y ` suc e ) )
32	31	unieqd 4446	. . . . . . . . . 10 |- ( c = suc e -> U. ran ( Y ` c ) = U. ran ( Y ` suc e ) )
33		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y ` suc e ) e. _V
34	33	rnex 7100	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( Y ` suc e ) e. _V
35	34	uniex 6953	. . . . . . . . . 10 |- U. ran ( Y ` suc e ) e. _V
36	32, 13, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( suc e e. om -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) = U. ran ( Y ` suc e ) )
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( e e. om -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) = U. ran ( Y ` suc e ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = e -> ( Y ` c ) = ( Y ` e ) )
39	38	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( c = e -> ran ( Y ` c ) = ran ( Y ` e ) )
40	39	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( c = e -> U. ran ( Y ` c ) = U. ran ( Y ` e ) )
41		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y ` e ) e. _V
42	41	rnex 7100	. . . . . . . . . 10 |- ran ( Y ` e ) e. _V
43	42	uniex 6953	. . . . . . . . 9 |- U. ran ( Y ` e ) e. _V
44	40, 13, 43	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( e e. om -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) = U. ran ( Y ` e ) )
45	37, 44	sseq12d 3634	. . . . . . 7 |- ( e e. om -> ( ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) <-> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) ) )
46	45	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. om ) -> ( ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) <-> U. ran ( Y ` suc e ) C_ U. ran ( Y ` e ) ) )
47	28, 46	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. om ) -> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) )
48	47	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. om ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) )
49	48	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> A. e e. om ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) )
50		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( d ` suc e ) = ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) )
51		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( d ` e ) = ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) )
52	50, 51	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) <-> ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) )
53	52	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) <-> A. e e. om ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) ) )
54		rneq 5351	. . . . . . 7 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ran d = ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) )
55	54	inteqd 4480	. . . . . 6 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> |^| ran d = |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) )
56	55, 54	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( |^| ran d e. ran d <-> |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) )
57	53, 56	imbi12d 334	. . . 4 |- ( d = ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) -> ( ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) <-> ( A. e e. om ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) -> |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) ) )
58	57	rspcv 3305	. . 3 |- ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ( ~P G ^m om ) -> ( A. d e. ( ~P G ^m om ) ( A. e e. om ( d ` suc e ) C_ ( d ` e ) -> |^| ran d e. ran d ) -> ( A. e e. om ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` suc e ) C_ ( ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ` e ) -> |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) ) ) )
59	23, 26, 49, 58	syl3c 66	. 2 |- ( ( ph /\ G e. F ) -> |^| ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) e. ran ( c e. om |-> U. ran ( Y ` c ) ) )
60	6, 59	mtand 691	1 |- ( ph -> -. G e. F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859

This theorem is referenced by:  fin23lem41  9174