Theorem fisup2g 8374

Description: A finite set satisfies the conditions to have a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisup2g	|- ( ( R Or A /\ ( B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A ) ) -> E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, R, y, z   x, B, y, z

Proof of Theorem fisup2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soss 5053	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( R Or A -> R Or B ) )
2		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/) ) -> R Or B )
3		fisupg 8208	. . . . . . 7 |- ( ( R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/) ) -> E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4	2, 3	supeu 8360	. . . . . 6 |- ( ( R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/) ) -> E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
5	4	3exp 1264	. . . . 5 |- ( R Or B -> ( B e. Fin -> ( B =/= (/) -> E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) )
6	1, 5	syl6 35	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( R Or A -> ( B e. Fin -> ( B =/= (/) -> E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) ) )
7	6	com4l 92	. . 3 |- ( R Or A -> ( B e. Fin -> ( B =/= (/) -> ( B C_ A -> E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) ) )
8	7	3imp2 1282	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A ) ) -> E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
9		reurex 3160	. 2 |- ( E! x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
10		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y R z <-> y R x ) )
11	10	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y R x ) -> E. z e. B y R z )
12	11	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
13	12	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( x e. B -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
14	13	a1d 25	. . . 4 |- ( x e. B -> ( A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
15	14	anim2d 589	. . 3 |- ( x e. B -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
16	15	reximia 3009	. 2 |- ( E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
17	8, 9, 16	3syl 18	1 |- ( ( R Or A /\ ( B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A ) ) -> E. x e. B ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fisupcl  8375  supgtoreq  8376  suprfinzcl  11492  ssnn0fi  12784  ssnnssfz  29549  ssnn0ssfz  42127