Theorem ssnn0fi 12784

Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0fi	|- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin <-> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )

Distinct variable group:   S, s, x

Proof of Theorem ssnn0fi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( S = (/) -> 0 e. NN0 )
3		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( s = 0 -> ( s < x <-> 0 < x ) )
4	3	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( s = 0 -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( s = 0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( S = (/) /\ s = 0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) )
7		nnel 2906	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e/ S <-> x e. S )
8		n0i 3920	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> -. S = (/) )
9	7, 8	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( -. x e/ S -> -. S = (/) )
10	9	con4i 113	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> x e/ S )
11	10	a1d 25	. . . . . 6 |- ( S = (/) -> ( 0 < x -> x e/ S ) )
12	11	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( S = (/) -> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) )
13	2, 6, 12	rspcedvd 3317	. . . 4 |- ( S = (/) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
14	13	2a1d 26	. . 3 |- ( S = (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
15		ltso 10118	. . . . . . 7 |- < Or RR
16		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ NN0 -> S C_ NN0 )
17		nn0ssre 11296	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR
18	16, 17	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( S C_ NN0 -> S C_ RR )
19	18	3anim3i 1250	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) )
20		fisup2g 8374	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR /\ ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) )
21	15, 19, 20	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) )
22		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> S C_ NN0 )
23		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( s < y <-> s < x ) )
24	23	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( -. s < y <-> -. s < x ) )
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> -. s < x )
26	25	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) )
27	26	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( x e. S -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) ) )
28	27	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( x e. NN0 -> ( x e. S -> -. s < x ) ) ) )
29	28	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( x e. S -> -. s < x ) )
30	7, 29	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( -. x e/ S -> -. s < x ) )
31	30	con4d 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( s < x -> x e/ S ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
35	34	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
36	35	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
37		ssrexv 3667	. . . . . . 7 |- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
38	22, 36, 37	sylsyld 61	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
39	21, 38	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) )
40	39	3exp 1264	. . . 4 |- ( S e. Fin -> ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
41	40	com3l 89	. . 3 |- ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) )
42	14, 41	pm2.61ine 2877	. 2 |- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )
43		fzfi 12771	. . . . 5 |- ( 0 ... s ) e. Fin
44		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 ... s ) <-> ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) )
45	44	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) )
46		3ianor 1055	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) )
47		3orass 1040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) )
48	45, 46, 47	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) )
49		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ NN0 -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) )
52	51	con3rr3 151	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
53		notnotb 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 <-> -. -. y e. NN0 )
54		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN0 -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) )
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. s e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
58	57	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
59		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( s < x <-> s < y ) )
60		neleq1 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( x e/ S <-> y e/ S ) )
61	59, 60	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( s < y -> y e/ S ) ) )
62	61	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( s < y -> y e/ S ) )
63		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( s e. NN0 -> s e. RR )
64		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
65		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( s e. RR /\ y e. RR ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) )
66	63, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) )
67		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e/ S <-> -. y e. S )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e/ S <-> -. y e. S ) )
69	66, 68	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) <-> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
70	69	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. NN0 -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
75	62, 74	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
77	76	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) )
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) )
79	78	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y <_ s -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
80	58, 79	jaoi 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
81	53, 80	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( -. -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) )
82	81	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. -. y e. NN0 /\ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
83	52, 82	jaoi3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
84	48, 83	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. ( 0 ... s ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) )
85	84	com12 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. y e. ( 0 ... s ) -> -. y e. S ) )
86	85	con4d 114	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. ( 0 ... s ) ) )
87	86	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S C_ ( 0 ... s ) )
88		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( ( 0 ... s ) e. Fin /\ S C_ ( 0 ... s ) ) -> S e. Fin )
89	43, 87, 88	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S e. Fin )
90	89	ex 450	. . 3 |- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> S e. Fin ) )
91	90	rexlimdva 3031	. 2 |- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> S e. Fin ) )
92	42, 91	impbid 202	1 |- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin <-> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  12785