Theorem fnmpt2 7238

Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt2.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem fnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( C e. V -> C e. _V )
2	1	2ralimi 2953	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A A. y e. B C e. _V )
3		fmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
4	3	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F : ( A X. B ) --> _V )
5		dffn2 6047	. . 3 |- ( F Fn ( A X. B ) <-> F : ( A X. B ) --> _V )
6	4, 5	bitr4i 267	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. _V <-> F Fn ( A X. B ) )
7	2, 6	sylib 208	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> F Fn ( A X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  fnmpt2i  7239  dmmpt2ga  7242  fnmpt2ovd  7252  genpdm  9824  isofn  16435  brric  18744  mpt2cti  29493  f1od2  29499  cnre2csqima  29957  elrnmpt2id  39427  smflimlem3  40981  smflimlem6  40984