Theorem genpdm 9824

Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
genp.2	|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
genpdm	|- dom F = ( P. X. P. )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, G

Allowed substitution hints:   F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 9813	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. P. /\ y e. w ) -> y e. Q. )
2		elprnq 9813	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. P. /\ z e. v ) -> z e. Q. )
3		genp.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
4		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y G z ) -> ( x e. Q. <-> ( y G z ) e. Q. ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
6	1, 2, 5	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. P. /\ y e. w ) /\ ( v e. P. /\ z e. v ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
7	6	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. P. /\ v e. P. ) /\ ( y e. w /\ z e. v ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
8	7	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. ) -> ( E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
9	8	abssdv 3676	. . . 4 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. ) -> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } C_ Q. )
10		nqex 9745	. . . 4 |- Q. e. _V
11		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } C_ Q. /\ Q. e. _V ) -> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . 3 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. ) -> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } e. _V )
13	12	rgen2a 2977	. 2 |- A. w e. P. A. v e. P. { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } e. _V
14		genp.1	. . 3 |- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
15	14	fnmpt2 7238	. 2 |- ( A. w e. P. A. v e. P. { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } e. _V -> F Fn ( P. X. P. ) )
16		fndm 5990	. 2 |- ( F Fn ( P. X. P. ) -> dom F = ( P. X. P. ) )
17	13, 15, 16	mp2b 10	1 |- dom F = ( P. X. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Q.cnq 9674   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-ni 9694  df-nq 9734  df-np 9803

This theorem is referenced by:  dmplp  9834  dmmp  9835