Theorem smflimlem6 40984

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem6.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimlem6.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimlem6.3	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimlem6.4	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimlem6.5	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflimlem6.6	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
smflimlem6.7	|- ( ph -> A e. RR )
smflimlem6.8	|- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
smflimlem6	|- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) )

Distinct variable groups:   x, k, A, m, n   A, s, k, m, x   D, k, m, n, x   k, F, m, n, x   F, s   k, G, m, n   m, M   P, k, m, n, x   P, s   S, k, m, n   S, s   k, Z, m, n, x   Z, s   ph, k, m, n, x

Allowed substitution hints:   ph( s)   D( s)   S( x)   G( x, s)   M( x, k, n, s)

Proof of Theorem smflimlem6

Dummy variables c r i j l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem6.2	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- Z e. _V
4		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
5	3, 4	xpex 6962	. . . . . 6 |- ( Z X. NN ) e. _V
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z X. NN ) e. _V )
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
8		smflimlem6.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. SAlg )
9	7, 8	rabexd 4814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
11	10	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
12		smflimlem6.8	. . . . . . 7 |- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
13	12	fnmpt2 7238	. . . . . 6 |- ( A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V -> P Fn ( Z X. NN ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P Fn ( Z X. NN ) )
15		fnrndomg 9358	. . . . 5 |- ( ( Z X. NN ) e. _V -> ( P Fn ( Z X. NN ) -> ran P ~<_ ( Z X. NN ) ) )
16	6, 14, 15	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> ran P ~<_ ( Z X. NN ) )
17	1	uzct 39232	. . . . . . 7 |- Z ~<_ om
18		nnct 12780	. . . . . . 7 |- NN ~<_ om
19	17, 18	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( Z ~<_ om /\ NN ~<_ om )
20		xpct 8839	. . . . . 6 |- ( ( Z ~<_ om /\ NN ~<_ om ) -> ( Z X. NN ) ~<_ om )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Z X. NN ) ~<_ om
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( Z X. NN ) ~<_ om )
23		domtr 8009	. . . 4 |- ( ( ran P ~<_ ( Z X. NN ) /\ ( Z X. NN ) ~<_ om ) -> ran P ~<_ om )
24	16, 22, 23	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ran P ~<_ om )
25		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
26	12	elrnmpt2g 6772	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran P <-> E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran P <-> E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
28	27	biimpi 206	. . . . 5 |- ( y e. ran P -> E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
29	28	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ran P ) -> E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
30		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) /\ y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) -> y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
31	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> S e. SAlg )
32		smflimlem6.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
33	32	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
34	33	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
36		smflimlem6.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
38		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR )
40	37, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A + ( 1 / k ) ) e. RR )
41	40	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> ( A + ( 1 / k ) ) e. RR )
42	31, 34, 35, 41	smfpreimalt 40940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } e. ( S ↾t dom ( F ` m ) ) )
43		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` m ) e. _V
44	43	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F ` m ) e. _V
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( F ` m ) e. _V )
46		elrest 16088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. SAlg /\ dom ( F ` m ) e. _V ) -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } e. ( S ↾t dom ( F ` m ) ) <-> E. s e. S { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
47	8, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } e. ( S ↾t dom ( F ` m ) ) <-> E. s e. S { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } e. ( S ↾t dom ( F ` m ) ) <-> E. s e. S { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
49	42, 48	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> E. s e. S { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) )
50		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } =/= (/) <-> E. s e. S { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) )
51	49, 50	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } =/= (/) )
52	51	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) /\ y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } =/= (/) )
53	30, 52	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ k e. NN ) /\ y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) -> y =/= (/) )
54	53	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. Z /\ k e. NN ) -> ( y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } -> y =/= (/) ) ) )
55	54	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } -> y =/= (/) ) )
56	55	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ran P ) -> ( E. m e. Z E. k e. NN y = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } -> y =/= (/) ) )
57	29, 56	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ran P ) -> y =/= (/) )
58	24, 57	axccd2 39430	. 2 |- ( ph -> E. c A. y e. ran P ( c ` y ) e. y )
59		smflimlem6.1	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) -> M e. ZZ )
61	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) -> S e. SAlg )
62	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
63		smflimlem6.5	. . . . 5 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
64		smflimlem6.6	. . . . 5 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
65	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) -> A e. RR )
66		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( l = m -> ( l P j ) = ( m P j ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( l = m -> ( c ` ( l P j ) ) = ( c ` ( m P j ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( m P j ) = ( m P k ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( c ` ( m P j ) ) = ( c ` ( m P k ) ) )
70	67, 69	cbvmpt2v 6735	. . . . 5 |- ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) = ( m e. Z , k e. NN |-> ( c ` ( m P k ) ) )
71		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j )
72		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j Z
73		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( ZZ>= ` n )
74		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j m
75		nfmpt22 6723	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j k
77	74, 75, 76	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k )
78	73, 77	nfiin 4549	. . . . . . 7 |- F/_ j |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k )
79	72, 78	nfiun 4548	. . . . . 6 |- F/_ j U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j = k /\ i e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
82	81	iineq2dv 4543	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
83		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = m -> ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) = ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
84	83	cbviinv 4560	. . . . . . . . . 10 |- |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
86	82, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
87	86	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( j = k /\ n e. Z ) -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
88	87	iuneq2dv 4542	. . . . . 6 |- ( j = k -> U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k ) )
89	71, 79, 88	cbviin 4558	. . . . 5 |- |^|_ j e. NN U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) j ) = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m ( l e. Z , j e. NN |-> ( c ` ( l P j ) ) ) k )
90		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = r -> ( c ` y ) = ( c ` r ) )
91		id 22	. . . . . . . 8 |- ( y = r -> y = r )
92	90, 91	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( y = r -> ( ( c ` y ) e. y <-> ( c ` r ) e. r ) )
93	92	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ran P ( c ` y ) e. y /\ r e. ran P ) -> ( c ` r ) e. r )
94	93	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) /\ r e. ran P ) -> ( c ` r ) e. r )
95	60, 1, 61, 62, 63, 64, 65, 12, 70, 89, 94	smflimlem5 40983	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. ran P ( c ` y ) e. y ) -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) )
96	95	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. ran P ( c ` y ) e. y -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) ) )
97	96	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. c A. y e. ran P ( c ` y ) e. y -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) ) )
98	58, 97	mpd 15	1 |- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflim  40985