Theorem nnsum4primeseven 41688

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primeseven	|- ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   f, N, k, m

Proof of Theorem nnsum4primeseven

Dummy variables o g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evengpop3 41686	. . . 4 |- ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> E. o e. GoldbachOddW N = ( o + 3 ) ) )
2	1	imp 445	. . 3 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) -> E. o e. GoldbachOddW N = ( o + 3 ) )
3		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) )
4		6nn 11189	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. NN
5	4	nnzi 11401	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. ZZ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 6 e. ZZ )
7		3z 11410	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 3 e. ZZ )
9		6p3e9 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	9	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 = ( 6 + 3 )
11	10	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 9 ) = ( ZZ>= ` ( 6 + 3 ) )
12	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) <-> N e. ( ZZ>= ` ( 6 + 3 ) ) )
13	12	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 6 + 3 ) ) )
14		eluzsub 11717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 6 + 3 ) ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) )
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) )
17	16	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) )
18		3odd 41617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. Odd
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 3 e. Odd )
20	19	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
22	21	ancomd 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
25		emoo 41613	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
27		nnsum4primesodd 41684	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) -> ( ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) )
28	27	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 6 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
29	3, 17, 26, 28	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
31		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. ZZ
32		fzonel 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -. 4 e. ( 1..^ 4 )
33		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
35		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 e. CC
36		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. CC
37		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 3 e. CC
38	35, 36, 37	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC )
39		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 3 + 1 ) = 4
40		subadd2 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( 4 - 1 ) = 3 <-> ( 3 + 1 ) = 4 ) )
41	39, 40	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( 4 - 1 ) = 3 )
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 - 1 ) = 3
43	42	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 1 ... 3 )
44	34, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... 3 )
45	44	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1..^ 4 )
46	45	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. ( 1 ... 3 ) <-> 4 e. ( 1..^ 4 ) )
47	32, 46	mtbir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. 4 e. ( 1 ... 3 )
48	31, 47	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
50		3prm 15406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. Prime
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. Prime )
52		fsnunf 6451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) /\ 3 e. Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
53	30, 49, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
54		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) )
55	31, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) )
56		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ZZ
57		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
58		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 4 e. RR
59		1lt4 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 < 4
60	57, 58, 59	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 <_ 4
61		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 1 <_ 4 ) )
62	56, 31, 60, 61	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. ( ZZ>= ` 1 )
63		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } )
65	44	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
66	55, 64, 65	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... 4 ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
67	66	feq2i 6037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
68	53, 67	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime )
69		prmex 15391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Prime e. _V
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... 4 ) e. _V
71	69, 70	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V )
72		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
74	68, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
76		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( f ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) /\ k e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( f ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
78	77	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
79	78	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) /\ f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
81	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
82	66	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) )
83		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) )
84		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. { 4 } <-> k = 4 )
85	84	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
86	82, 83, 85	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
87		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) )
88		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- 3 e. RR
89	88, 58	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 3 e. RR /\ 4 e. RR )
90		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- 3 < 4
91		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 ) )
92	90, 91	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> -. 4 <_ 3 )
93	89, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- -. 4 <_ 3
94		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k = 4 -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
95	94	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 4 = k -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
96	93, 95	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 4 = k -> -. k <_ 3 )
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ZZ -> ( 4 = k -> -. k <_ 3 ) )
98	97	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. ZZ -> ( k <_ 3 -> 4 =/= k ) )
99	98	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ZZ -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
100	99	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
101	100	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) -> 4 =/= k )
102	87, 101	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> 4 =/= k )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 =/= k )
104		fvunsn 6445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 =/= k -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
106		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) e. Prime )
107	106	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. Prime )
108		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( g ` k ) e. Prime -> ( g ` k ) e. ZZ )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. ZZ )
110	109	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. CC )
111	105, 110	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
112	111	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
113	112	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = 4 -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) )
115	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 4 e. ZZ )
116	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 3 e. ZZ )
117		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> dom g = ( 1 ... 3 ) )
118		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> ( 4 e. dom g <-> 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
119	47, 118	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> -. 4 e. dom g )
120	117, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> -. 4 e. dom g )
121		fsnunfv 6453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ -. 4 e. dom g ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
124	114, 123	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = 3 )
125	124, 37	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
126	125	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 4 -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
127	113, 126	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
128	127	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
129	86, 128	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( k e. ( 1 ... 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
130	129	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
131	81, 130, 114	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
133	42	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 3 = ( 4 - 1 )
134	133	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
136	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> 4 =/= k )
137	136, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
138	137	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
139	135, 138	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
140	139	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) <-> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
141	140	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
142	141	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( N - 3 ) )
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
144	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ZZ )
145	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. ZZ )
146	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> -. 4 e. dom g )
147	144, 145, 146, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + 3 ) )
149		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> N e. CC )
150	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> 3 e. CC )
151	149, 150	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
153	148, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
155	132, 143, 154	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
156	75, 80, 155	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
157	156	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
158	157	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
159		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
160	158, 159	syl11 33	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
161	160	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
162	161	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
163	162	ad3antlr 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
164	29, 163	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
165	164	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddW ) -> ( N = ( o + 3 ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
166	165	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) -> ( E. o e. GoldbachOddW N = ( o + 3 ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
167	2, 166	mpd 15	. 2 |- ( ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
168	167	ex 450	1 |- ( A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOddW ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 9 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   9c9 11077   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbow 41637

This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  41690