Theorem nnsum4primesevenALTV 41689

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesevenALTV	|- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   f, N, k, m

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV

Dummy variables o g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) )
2		8nn 11191	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. NN
3	2	nnzi 11401	. . . . . . . . 9 |- 8 e. ZZ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 8 e. ZZ )
5		3z 11410	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. ZZ )
7	4, 6	zaddcld 11486	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) e. ZZ )
8		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ZZ )
9		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) <-> (; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) )
10		8p4e12 11614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 8 + 4 ) = ; 1 2
11	10	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 8 + 4 ) <_ N <-> ; 1 2 <_ N )
12		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
13		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
14		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 2
15	12, 12, 13, 14	declt 11530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 1 1 < ; 1 2
16		8p3e11 11612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
17	15, 16, 10	3brtr4i 4683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 )
18		8re 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 8 e. RR )
20		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. RR
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
22	19, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 8 + 3 ) e. RR )
23		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 4 e. RR )
25	19, 24	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 8 + 4 ) e. RR )
26		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
27		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 8 + 3 ) e. RR /\ ( 8 + 4 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
29	17, 28	mpani 712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( ( 8 + 4 ) <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
30	11, 29	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> (; 1 2 <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
32	31	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
33	9, 32	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
34		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) <-> ( ( 8 + 3 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 8 + 3 ) <_ N ) )
35	7, 8, 33, 34	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) )
36		eluzsub 11717	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
37	4, 6, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
38	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
39	38	ad3antlr 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
40		3odd 41617	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Odd
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. Odd )
42	41	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
44	43	ancomd 467	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
46	45	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
47		emoo 41613	. . . . . 6 |- ( ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
49		nnsum4primesoddALTV 41685	. . . . . 6 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) )
50	49	imp 445	. . . . 5 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
51	1, 39, 48, 50	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
52		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
53		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
54		fzonel 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. 4 e. ( 1..^ 4 )
55		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
57		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 e. CC
58		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
59		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 e. CC
60		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 3 + 1 ) = 4
61		subadd2 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( 4 - 1 ) = 3 <-> ( 3 + 1 ) = 4 ) )
62	60, 61	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( 4 - 1 ) = 3 )
63	57, 58, 59, 62	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 - 1 ) = 3
64	63	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 1 ... 3 )
65	56, 64	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... 3 )
66	65	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1..^ 4 )
67	66	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. ( 1 ... 3 ) <-> 4 e. ( 1..^ 4 ) )
68	54, 67	mtbir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. 4 e. ( 1 ... 3 )
69	53, 68	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
71		3prm 15406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. Prime
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. Prime )
73		fsnunf 6451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) /\ 3 e. Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
74	52, 70, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
75		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) )
76	53, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) )
77		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. ZZ
78		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
79		1lt4 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 < 4
80	78, 23, 79	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 4
81		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 1 <_ 4 ) )
82	77, 53, 80, 81	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ( ZZ>= ` 1 )
83		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } )
85	65	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
86	76, 84, 85	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... 4 ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
87	86	feq2i 6037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
88	74, 87	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime )
89		prmex 15391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Prime e. _V
90		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... 4 ) e. _V
91	89, 90	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V )
92		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
93	91, 92	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
94	88, 93	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
96		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( f ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
97	96	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
98	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) /\ f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
100	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
101	86	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) )
102		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) )
103		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. { 4 } <-> k = 4 )
104	103	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
105	101, 102, 104	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
106		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) )
107	20, 23	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 3 e. RR /\ 4 e. RR )
108		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 < 4
109		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 ) )
110	108, 109	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> -. 4 <_ 3 )
111	107, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- -. 4 <_ 3
112		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = 4 -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
113	112	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 4 = k -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
114	111, 113	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 4 = k -> -. k <_ 3 )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ZZ -> ( 4 = k -> -. k <_ 3 ) )
116	115	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ZZ -> ( k <_ 3 -> 4 =/= k ) )
117	116	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ZZ -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
118	117	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
119	118	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) -> 4 =/= k )
120	106, 119	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> 4 =/= k )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 =/= k )
122		fvunsn 6445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 4 =/= k -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
124		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) e. Prime )
125	124	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. Prime )
126		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( g ` k ) e. Prime -> ( g ` k ) e. ZZ )
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. ZZ )
128	127	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. CC )
129	123, 128	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
130	129	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
131	130	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = 4 -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) )
133	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 4 e. ZZ )
134	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 3 e. ZZ )
135		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> dom g = ( 1 ... 3 ) )
136		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> ( 4 e. dom g <-> 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
137	68, 136	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> -. 4 e. dom g )
138	135, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> -. 4 e. dom g )
139		fsnunfv 6453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ -. 4 e. dom g ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
140	133, 134, 138, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
142	132, 141	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = 3 )
143	142, 59	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
144	143	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 4 -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
145	131, 144	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
146	145	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
147	105, 146	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( k e. ( 1 ... 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
148	147	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
149	100, 148, 132	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
151	63	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 3 = ( 4 - 1 )
152	151	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
154	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> 4 =/= k )
155	154, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
157	153, 156	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
158	157	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) <-> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
159	158	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
160	159	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( N - 3 ) )
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
162	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ZZ )
163	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. ZZ )
164	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> -. 4 e. dom g )
165	162, 163, 164, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + 3 ) )
167		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. CC )
168	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. CC )
169	167, 168	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
171	166, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
172	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
173	150, 161, 172	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
174	95, 99, 173	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
175	174	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
176	175	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
177		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
178	176, 177	syl11 33	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
179	178	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
180	179	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
181	180	ad3antlr 767	. . . 4 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
182	51, 181	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
183		evengpoap3 41687	. . . 4 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. o e. GoldbachOdd N = ( o + 3 ) ) )
184	183	imp 445	. . 3 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. o e. GoldbachOdd N = ( o + 3 ) )
185	182, 184	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
186	185	ex 450	1 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   7c7 11075   8c8 11076   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachOdd cgbo 41635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbo 41638

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